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信息学奥赛一本通 1223：An Easy Problem | OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem

發(fā)布時(shí)間：2025/3/17 编程问答 26 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了信息学奥赛一本通 1223：An Easy Problem | OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem 小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

【題目鏈接】

ybt 1223：An Easy Problem
OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem

【題目考點(diǎn)】

1. 數(shù)制

2. 枚舉

【解題思路】

解法1：枚舉

要找比給定數(shù)字n大的最小的二進(jìn)制表示中1的個(gè)數(shù)相同的數(shù)字。
先求出n在二進(jìn)制表示下1的個(gè)數(shù)。
而后不斷枚舉比n大的整數(shù)，求出其二進(jìn)制表示中1的個(gè)數(shù)。如果1的個(gè)數(shù)與n在二進(jìn)制下1的個(gè)數(shù)相同，那么就是找到了比n大的最小的二進(jìn)制表示中1的個(gè)數(shù)相同的數(shù)字。

分析算法最大復(fù)雜度：n最大是 $10^6$ ，二進(jìn)制下各位全是1的情況，需要枚舉的次數(shù)最多。
已知一個(gè)x位二進(jìn)制數(shù) $11?1?x\underbrace {11\cdots 1}_x$ ，各位都是1，其數(shù)值為 $2^x-1$ 。
令 $2x?1≤1062^x-1 \le 10^6$ ，有 $\le log_2(10^6+1)\approx 19.9$ ，x最大為19。考慮比 $11?1?19\underbrace{11\cdots 1}_{19}$ 大的最小的也有19個(gè)1的二進(jìn)制數(shù)字，為 $1011?1?1810\underbrace{11\cdots 1}_{18}$ ，相當(dāng)于比 $1011?1?18?11?1?19=100?0?18=218=26214410\underbrace{11\cdots 1}_{18}-\underbrace{11\cdots 1}_{19}=1\underbrace{00\cdots 0}_{18} = 2^{18}=262144$ 。
即對(duì)于每個(gè)數(shù)字，至多枚舉262144次，即可得到解，每次枚舉拆分?jǐn)?shù)字要循環(huán)10次。
對(duì)于每個(gè)數(shù)字，運(yùn)算復(fù)雜度最大為 $10^6$ 數(shù)量級(jí)。該算法可以支持在1秒內(nèi)對(duì)10~100個(gè)數(shù)字求比給定數(shù)字大的最小的二進(jìn)制表示中1的個(gè)數(shù)相同的數(shù)字。題目沒(méi)說(shuō)要輸入多少數(shù)字，默認(rèn)不說(shuō)就是小于等于100個(gè)。所以該算法是可行的。

解法2：找規(guī)律

思考，如果該二進(jìn)制數(shù)末尾幾位是0，增加1后，其中1的個(gè)數(shù)就多了1個(gè)。再增加1，1的個(gè)數(shù)始終是變多的。如果數(shù)值增加后改變的位置其原位置上都是0，那么1的數(shù)量就不會(huì)減少到與原有1的數(shù)量相同。

原數(shù)字：1000
加1：1001
加1：1010
加1：1011
1的數(shù)量始終比1000要多。

只有當(dāng)增加的數(shù)值與原位置上的1加和引發(fā)進(jìn)位，才會(huì)使1的數(shù)量減少

原數(shù)字:1011
加1：1100：減少兩位1，增加一個(gè)進(jìn)位的1。總共減少一位1。

觀察規(guī)律可知，第一次1減少的時(shí)機(jī)發(fā)生在最末尾一段連續(xù)的1發(fā)生進(jìn)位的時(shí)候。
嚴(yán)格描述為：二進(jìn)制數(shù)字 $d1d2?dx?x011?1?k00?0?m\underbrace{d_1d_2\cdots d_x}_x0\underbrace{11\cdots 1}_{k}\underbrace{00\cdots 0}_{m}$ （ $d1～dxd_1\sim d_x$ 為任意數(shù)字。其中x，m最小為0，k最小為1）
該數(shù)字在增加 $100?0?m1\underbrace{00\cdots 0}_{m}$ 后發(fā)生進(jìn)位，成為 $d1d2?dx?x100?0?k+m\underbrace{d_1d_2\cdots d_x}_x1\underbrace{00\cdots 0}_{k+m}$ ，這次進(jìn)位增加了1位1，減少了k位1，所以共減少k-1位1。
為了讓1的數(shù)量不發(fā)生改變，應(yīng)該在末尾增加k-1位1，使數(shù)字變?yōu)?#xff1a; $d1d2?dx?x100?0?m+111?1?k?1\underbrace{d_1d_2\cdots d_x}_x1\underbrace{00\cdots 0}_{m+1}\underbrace{11\cdots 1}_{k-1}$

具體做法為

將數(shù)字轉(zhuǎn)為二進(jìn)制形式，存入數(shù)組

從低位向高位遍歷，如果發(fā)現(xiàn)當(dāng)前位是1且下一位是0的情況，說(shuō)明找到了最末尾一段連續(xù)的1的最高位，記為b。

b+1位置從0變?yōu)?。如果b本身是數(shù)字的最高位，將b+1位置設(shè)為最高位。

從b開(kāi)始向低位遍歷，計(jì)數(shù)得到有k個(gè)連續(xù)的1，同時(shí)將遍歷到的位置從1變?yōu)?。

從末尾位開(kāi)始，連續(xù)將k-1位0變?yōu)?。

輸出數(shù)字。

該算法針對(duì)每個(gè)數(shù)字，只是對(duì)數(shù)字各位進(jìn)行幾遍遍歷。小于等于 $10^6$ 的數(shù)字的二進(jìn)制位為20位左右。因而針對(duì)每個(gè)數(shù)字的運(yùn)算次數(shù)都是 $10$ 數(shù)量級(jí)。復(fù)雜度遠(yuǎn)小于方法1。

【題解代碼】

解法1：枚舉

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, ans;while(cin >> n && n != 0){int ct_n = 0, ct_a;//ct_n:n中1的個(gè)數(shù) ct_a:ans中1的個(gè)數(shù) for(int a = n; a > 0; a /= 2)if(a%2 == 1)ct_n++;for(ans = n+1; true; ans++){ct_a = 0;for(int a = ans; a > 0; a /= 2)if(a%2 == 1)ct_a++;if(ct_a == ct_n){cout<< ans << endl;break;}}}return 0; }

解法2：找規(guī)律（復(fù)雜度低）

//找最末的連續(xù)k個(gè)1，變?yōu)?加上k個(gè)0，末尾再添加k-1個(gè)1 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, num[50];while(cin >> n && n != 0){memset(num, 0, sizeof(num));int b, ct = 0, ni = 0, ans = 0;//b:最末連續(xù)的1的起始位置for(int a = n; a > 0; a /= 2)num[++ni] = a % 2;for(int i = 1; i <= ni; ++i){if(num[i] == 1 && num[i+1] == 0){b = i;break;}}num[b+1] = 1;if(b+1 > ni)ni = b+1;for(int i = b; num[i] != 0; --i){ct++;num[i] = 0;}for(int i = 1; i <= ct-1; ++i)num[i] = 1;for(int i = ni; i >= 1; --i)ans = ans*2+num[i];cout << ans << endl;} return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信息学奥赛一本通 1223：An Easy Problem | OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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