本節包括：

• 期望：定義與性質
• 方差與協方差：方差、標準差、協方差、相關系數、協方差矩陣、矩的定義與性質
• 條件期望：條件期望與條件方差
• 典型隨機變量的期望方差

期望

離散

設一離散隨機變量 有概率分布 ，
若 ，則稱 為隨機變量的期望

連續

設一連續隨機變量 的概率密度函數為 ，若 ，
則稱 為隨機變量的期望

期望的性質
(1) 期望與概率的關系：
設

是一事件，為的示性函數，則

(2) 隨機向量函數的期望：
設

為一隨機向量，，若有聯合概率密度函數，則對于滿足 的實函數， 的期望為

(3) 期望的線性：
假定

，為固定實數，
則的期望存在，且

(4) 期望的獨立性：
對于獨立隨機變量

，
(5) 積分定義的期望：

方差與協方差

方差與標準差

若隨機變量的期望有限，稱為的方差，為的標準差
計算：

方差的性質
(1)

(2)

重要不等式

(1) 馬爾科夫不等式

：
對任意隨機變量與固定實數，

(2) 切比雪夫不等式

：
對任意方差有限的隨機變量，
有時也寫成：

(3) 柯西—施瓦茨不等式

：
若，則
當且僅當存在實數 使得 時等號成立

(4) 琴生不等式

：
對于凸函數，

協方差

若，隨機變量 的協方差定義為
計算：；若，稱 不相關

相關系數

若，隨機變量 的相關系數定義為
計算：；
若，稱 存在線性關系

性質

(1)

(2)
(3) 不相關的三種等價定義： (4) 獨立性強于不相關，但當時獨立等價于不相關

協方差矩陣

對于n維隨機向量，其協方差矩陣定義為：

注記 協方差矩陣是對稱和非負定的

矩

的階原點矩：，階中心矩：

注記 期望和方差就是其1階原點矩和2階中心矩

條件期望

條件期望

設為隨機向量，若，則稱
為在上的條件期望，為關于的條件期望

注記

(1) 條件期望就是條件分布的期望，

為的函數，為的函數，即隨機變量

(2) 條件期望的本質是期望，因而具有期望的一切性質：

當獨立時，

條件方差

稱
為關于的條件方差

注記 方差分解公式：

典型隨機變量的期望方差

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二维随机变量期望公式_概率论笔记-Ch4期望与方差的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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