0. ?引言

(1) ?$f$ 在 $|z|<R$ 內解析 $\dps{\ra f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ (Taylor 級數).

(2) ?$f$ 在 $r<|z|<R\ (0\leq r<R\leq\infty)$ 內解析 $\dps{\ra f(z)=?}$ (Laurent 級數).

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1. ?雙邊冪級數

(1) ?定義 $$\bee\label{15_bs} \bea &\quad c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots\quad(n\to+\infty)\\ &\quad+\cfrac{c_{-1}}{z}+\cfrac{c_{-2}}{z^2}+\cdots\quad(n\to-\infty)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_nz^n \eea \eee$$

(2) ?收斂域 (不包括邊界) - 圓環 $H:r<|z|<R$.

(3) ?$\dps{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_nz^n}$ 在 $H$ 內絕對、內閉一致收斂; 而和函數 $f(z)$ 在 $H$ 內解析, 可逐項求導, 逐項積分.

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2. ?解析函數的 Laurent 展式

(1) ?Laurent 定理: 設 $f$ 在 $H:\ r<|z-a|<R$ ($0\leq r<R\leq\infty$) 內解析, 則 $$\bee\label{15_Lau} f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n, \eee$$ 其中 $$\bee\label{15_Lau_Coef} c_n=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho}\cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\rd \zeta\quad(n\in\bbZ,\ r<\rho<R). \eee$$

a. ?\eqref{15_Lau} (右端) 稱為 $f$ 在 $a$ 處的 Laurent 展式 (Laurent 級數), \eqref{15_Lau_Coef} 稱為其 Laurent 系數.

b. ?證明: $$\beex \bea f(z)&=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa_2}\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta -\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa_1}\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta\\ &\quad\sex{\vGa_i:\ |\zeta-a|=\rho_i,\ r<\rho_1<|z-a|<\rho_2<R}\\ &\equiv I_1-I_2;\\ I_1&=\cdots\cdots,\\ I_2&=\cdots\cdots. ?\eea \eeex$$

c. ?例: 分別在 (i) $|z|<1$, (ii) $1<|z|<2$, (iii) $|z|>2$; (iv) $0<|z-1|<1$, (v) $1<|z-1|<\infty$; (vi) $0<|z-2|<1$, (vii) $1<|z-2|<\infty$ 內求 $f(z)=\cfrac{1}{(z-1)(z-2)^2}$ 的 Laurent 級數.

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3. ?解析函數的孤立奇點

(1) ?定義: 設 $f$ 在 $a$ 處不可微, 但在 $a$ 的一個去心鄰域內可微, 則稱 $a$ 為 $f$ 的孤立奇點.

(2) ?$f$ 在孤立奇點的去心鄰域內可展成 Laurent 級數.

(3) ?例: $\dps{\cfrac{\sin z}{z},\ e^z+e^\frac{1}{z},\ \sin\cfrac{z}{z-1}}$.

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作業: P 213 T 1 (1) .?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[复变函数]第17堂课 5 解析函数的 Laurent 展式与孤立奇点 5. 1 解析函数的 Laurent 展式...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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