線性代數(shù)導(dǎo)論 - #10 線性相關(guān)性、向量空間的基和維數(shù)

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這節(jié)課中，我們先講了前面的課程中一直提及的線性相關(guān)性的具體定義，并以此為基礎(chǔ)建立了向量空間的“基”和“維數(shù)”的定義，最后歸納為一種已知若干向量求其生成的空間的基和維數(shù)的系統(tǒng)方法。

首先是線性相關(guān)性的定義。

已知一個由n個向量構(gòu)成的向量組【V₁，V₂，…，V_n】,如果存在n個系數(shù)【C_1，C_2，…_，C_n】,使得各C_iV_i（i=1,2,3,…,n）的和為0，則稱這組向量線性相關(guān)。反之，如不存在，則稱其線性無關(guān)。

當(dāng)然，這里要排除C_i均為0的情況。

對于這個定義，有兩點注意之處：

1.線性相關(guān)性是整組向量的性質(zhì)，不是某一個或幾個向量與另一個向量之間的性質(zhì)（以此表述為準，#1~#9中的表述可能有誤）；

2.系數(shù)中可以出現(xiàn)0。

誠然，線性相關(guān)的向量組內(nèi)，存在一個向量能表示為其它若干向量的線性組合的情況，但是這并不意味著該情況是普遍情況。事實上，只有系數(shù)非0的向量，才可以通過移項，被表示為其它所有向量的線性組合。如果把線性相關(guān)表述為注意1中的“狹隘”形式，很可能帶有一種先入為主的觀念，干擾后續(xù)對于找向量組內(nèi)的“基”（即剔除一些向量使得余下的向量線性無關(guān)）的正確認識。

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線性相關(guān)性的定義可以用矩陣語言表述為：

對于一個由n個向量構(gòu)成的向量組，將每個向量均視為列向量后構(gòu)成的m*n矩陣A的零空間中，若含有非零向量，則線性相關(guān)，反之線性無關(guān)。

零空間生成的基礎(chǔ)是Ax=0，系數(shù)的組合所構(gòu)成的向量生成零空間。矩陣語言下的說法實質(zhì)上也就是判定Ax=0是否存在非零解。

運用矩陣的一些性質(zhì)，我們可以把線性相關(guān)性進一步抽象為：

若r<n，則線性相關(guān)；若r=n，則線性無關(guān)。

根據(jù)#9中的知識，自由變量/自由列的個數(shù)為n-r，如果存在自由變量，我們可以通過將其置為非零值獲得非零解。而一個列向量之所以能在消元的過程中變?yōu)樽杂闪?#xff0c;就是因為該列向量可以表示為主元列的線性組合。

運用這些結(jié)論，請思考：為什么由三（n+1）個及以上二（n）元向量組成的向量組一定線性相關(guān)呢？

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其次是基和維數(shù)的定義。

對于一個給定的向量空間（下簡稱為空間），如果存在一組向量同時滿足：

1.線性無關(guān)；

2.能夠生成整個空間。

那么稱這組向量為該空間的基。

顯然，根據(jù)空間生成的方式，空間的基是不唯一的。但是它們都具有一個共同點：所包含向量的個數(shù)相同。我們將這個固定的個數(shù)稱為該空間的維數(shù)。

一個空間的基包含該空間全部的信息，可以通過各基向量乘上常系數(shù)C（比如零空間的表示方法）的形式表示空間。

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基和維數(shù)的定義建立在“空間已給定”的基礎(chǔ)上。所謂的“給定”，顯然就是給出了該空間的基，其所包含的向量個數(shù)不多也不少，恰好等于維數(shù)。

如果已知若干向量，求其生成的空間的基和維數(shù)，該怎么辦？

根據(jù)條件，這些向量是足以生成對應(yīng)的空間的。但是它們可以直接作為該空間的基嗎？不一定，因為它們不一定線性無關(guān)。

所以我們要通過以下的方法剔除出那些對于生成空間“沒有貢獻”的向量，以達到余下的向量線性無關(guān)的效果：

1.將這些向量視為列向量寫成矩陣的形式；

2.利用消元法確定主元列和自由列；

3.主元列所對應(yīng)的原來的列向量（不是主元列，行變換過程中列空間發(fā)生了改變）即為原列空間的一組基。

根據(jù)這個方法，我們可以得到以下這些量之間神奇的等量關(guān)系：

矩陣A的r=A中主元/主元列的個數(shù)=列空間的維數(shù)，也即 dim C(A) = rank(A)。

回想我們在#8中求零空間的基的方法，請思考：對于一個m*n，秩為r的矩陣A，其零空間N(A)的維數(shù)是？

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8438754.html

總結(jié)

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