1、本原勾股數：

概念：一個三元組(a,b,c)，其中a,b,c沒有公因數而且滿足：a^2+b^2=c^2

首先，這種本原勾股數的個數是無限的，而且構造的條件滿足：

a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2

其中s>t>=1是任意沒有公因數的奇數！

由以上概念就可以導出任意一個本原勾股數組。

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2、素數計數（素數定理）

令π(x)為1到x中素數的個數

19世紀最高的數論成就就是以下這個玩意兒：

lim(x->∞){π(x)/(x/ln(x))}=1

數論最高成就，最高成就！！！有木有！！！

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3、哥德巴赫猜想(1+1)

一個大偶數(>=4)必然可以拆分為兩個素數的和，雖然目前還沒有人能夠從理論上進行證明，不過我根據科學家們利用計算機運算的結果，如果有一個偶數不能進行拆分，那么這個偶數至少是一個上百位的數！！

所以在ACM的世界中（數據量往往只有2^63以下）哥德巴赫猜想是成立的！！所以拆分程序一定能夠實現的

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4、哥德巴赫猜想的推廣

任意一個>=8的整數一定能夠拆分為四個素數的和

證明：

先來說8=2+2+2+2，（四個最小素數的和）不能再找到比2小的素數了，所以當n小于8，就一定不可能拆分為四個素數的和！

那么當n大于等于8，可以分情況討論：

（1）n&1==0(n為偶數)，那么n就一定可以拆分為兩個偶數的和

那么根據哥德巴赫猜想，偶數可以拆分為兩個素數的和，于是，n一定可以拆分為四個素數的和

（2）n&1==1(n為奇數)，n一定可以拆分為兩個偶數+1

由于有一個素數又是偶數，2，那么奇數一定有如下拆分：2+3+素數+素數

得證。

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5、歐拉函數（歐拉公式）

歐拉函數ph(n)的意思是所有小于n且與n互質的數的個數

比如說ph(12)=4,[1,5,7,11與12互質]

歐拉公式

a^ph(m)=1(mod m)

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6、費馬小定理

費馬小定理是歐拉公式的一種特殊情況

由于當p為質數的時候ph(p)=p-1這是顯然的

那么帶入歐拉公式就得到了費馬小定理

a^(p-1)=1(mod p)

p為質數(prime)

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7、抽屜原理

抽屜原理其實是廢話，關鍵在于運用

這句廢話是說，如果現在有3個蘋果，放進2個抽屜，那么至少有一個抽屜里面會有兩個蘋果，這個很廢話。

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8、抽屜原理的運用

抽屜原理本身只是一句廢話，不過他的運用卻非常強大

現在假設有一個正整數序列a1,a2,a3,a4.....an，試證明我們一定能夠找到一段連續的序列和，讓這個和是n的倍數，該命題的證明就用到了抽屜原理

我們可以先構造一個序列si=a1+a2+...ai

然后分別對于si取模，如果其中有一個sk%n==0，那么a1+a2+...+ak就一定是n的倍數（該種情況得證）

下面是上一種情況的反面，即任何一個sk對于n的余數都不為0

對于這種情況，我們可以如下考慮，因為si%n!=0

那么si%n的范圍必然在1——（n-1），所以原序列si就產生了n個范圍在1——（n-1）的余數，于是抽屜原理就來了，n個數放進n-1個盒子里面，必然至少有兩個余數會重復，那么這兩個sk1,sk2之差必然是n的倍數，

而sk1-sk2是一段連續的序列，那么原命題就得到了證明了

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9、判斷n!是否能夠被m整除

計算方法是把m進行質因數分解，看下m的每一個質因數是否能夠在n!中找到；

n!中間包含了多少個x(x是任意的一個數，不過一般情況下我們都只討論x為質數)，這種問題的答案是：
n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超過n]，這個定理的證明也非常的簡單，這里就不再贅述了

根據以上觀點，就可以分別計算m的每一個質因數是否被完全包含，如果有一個沒有被包含，那么就不能被整除！

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10、因子和的計算方法

神馬叫因子和：一個數的所有因子的和就叫因子和。。。

好吧，舉個例子：12的因子和為：1+2+3+4+6+12

計算方法是把12分解為質因數的表達形式2^2*3

那么他的因子和就是：(1+2+2^2)*(1+3)

證明寫起來比較麻煩，大體上思路就是牛頓二項式。。。

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11、判斷組合數C(n,m)的奇偶性

有一個我也不知道證明的方法

當n&m==m為奇數，反之就是偶數

轉載于:https://www.cnblogs.com/ERKE/p/3631649.html

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

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