雙邊濾波（Bilateral filter）

雙邊濾波（Bilateral filter）是一種可以保邊去噪的濾波器。其輸出像素的值依賴于鄰域像素的值的加權組合，即：

$$g(i,j)=\frac{{\sum }_{k,l}f(k,l)w(i,j,k,l)}{{\sum }_{k,l}w(i,j,k,l)}$$

也就是：

$$h=\frac{w(i,j,k,l)}{{\sum }_{k,l}w(i,j,k,l)}$$

其中，

$$w(i,j,k,l)=d(i,j,k,l)?r(i,j,k,l)=\exp \left(?\frac{(i?k{)}^2+(j?l{)}^2}{2{\sigma }_d^2}\right)?\exp \left(?\frac{\Vert f(i,j)?f(k,l){\Vert }^2}{2{\sigma }_r^2}\right)$$

這里的$r(i,j,k,l)$由于和像素值的差有關（像素差越大，權重越小），也被叫做“值域核”。

從效果來說，雙邊濾波可產生類似美膚的效果。皮膚上的皺紋和斑，與正常皮膚的差異，遠小于黑白眼珠之間的差異，因此前者被平滑，而后者被保留。

為了體現效果，這里來張大叔的照片。

Steerable濾波

高斯濾波是一種各向同性濾波，如果想要對特定方向進行濾波的話，可使用Steerable濾波。

對最簡二維高斯函數$G(x,y)=e^{?(x^2+y^2)}$求1階偏導可得：

$$G_1^0=\frac{?G(x,y)}{?x}=?2x{e}^{?(x^2+y^2)},G_1^{\frac{\pi }{2}}=\frac{?G(x,y)}{?y}=?2y{e}^{?(x^2+y^2)}$$

這就是兩個軸向上的1階Steerable濾波函數。

任意角度的1階Steerable濾波函數為：

$$G_1^{\theta }=\cos \theta G_1^0+\sin \theta G_1^{\frac{\pi }{2}}$$

如果對高斯函數求2階偏導,還可得到2階Steerable濾波函數。進一步的討論詳見參考論文。

參考：

1991年IEEE論文：The Design and Use of Steerable Filters

作者：William T. Freeman，斯坦福大學本科+斯坦福/康奈爾大學雙料碩士+麻省理工學院博士，麻省理工學院教授。1987年，曾做為訪問學者在太原理工大學待了一學年。

Edward H. Adelson，密歇根大學博士，麻省理工學院教授。

Gabor濾波

基、線性無關、正交

一般的函數可以展開為冪級數或者Fourier級數。這些級數中的冪函數或者正弦函數，被稱作“基(basis)函數”。

基的屬性主要涉及“線性無關”和“正交”這兩個名詞。

線性無關的幾何含義：在$R^3$(3維空間)中，如果三個向量不共面，則它們相互線性無關。

基如果線性無關，則其函數的級數展開式是唯一的。由于線性相關基使用的比較少，以下如無特指，基均為線性無關基。

正交的幾何含義：兩個向量正交，則它們是相互垂直的。

正交基一定線性無關，反之則不成立。一般采用施密特正交化方法，將線性無關基，轉換為正交基。

冪級數是線性無關基，而Fourier級數是正交基。

Gabor wavelet

除了以上兩種常用的基函數外，其他函數也可以作為基函數。其中使用最多的基函數是小波(wavelet)函數，其變換也被稱作小波變換。

需要指出的是，小波函數不是一個函數，而是一類函數。Gabor函數就是小波函數的其中一種，其定義如下：

$$g_{t,n}(x)=g(x?al)e^{2\pi ibnx},?\infty <l,n<+\infty$$

這里的$a,b$為常數，$g$為$L^2(R)$(立方可積函數)，且$\parallel g\parallel =1$。

注：Dennis Gabor（1900~1979），全息學創始人，1971年獲諾貝爾物理學獎，著有《Theory of Communication》（1946）。

當$g$為高斯函數時，可得到Gabor wavelet：

$$f(x)=e^{?(x?x_0{)}^2/a^2}{e}^{?i{k}_0(x?x_0)}$$

Gabor wavelet的性質：

1.Gabor wavelet的Fourier變換還是Gabor wavelet：

$$F(k)=e^{?(k?k_0{)}^2{a}^2}{e}^{?i{x}_0(k?k_0)}$$

2.從物理上來說，Gabor wavelet等效于在一個正弦載波（頻域）上，調制一個高斯函數（時空域）。這也是Dennis Gabor最早提出它的時候的用途。

3.Fourier變換是信號在整個時域內的積分，因此反映的是信號頻率的統計特性，沒有局部化分析信號的功能。而Gabor變換是一種短時Fourier變換，具有良好的時頻局部化特性，即非常容易地調整Gabor濾波器的方向、基頻帶寬及中心頻率，從而能夠最好的兼顧信號在時空域和頻域中的分辨能力。

Gabor filter

將Gabor wavelet擴展到2維，可得到Gabor filter(圖像實際上就是一種2維信號)：

$$g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=\exp \left(?\frac{x^{\prime 2}+{\gamma }^2{y}^{\prime 2}}{2{\sigma }^2}\right)\exp \left(i\left(2\pi \frac{x^{\prime }}{\lambda }+\psi \right)\right)$$

其中，

$$x^{\prime }=x\cos \theta +y\sin \theta ,y^{\prime }=?x\sin \theta +y\cos \theta$$

$lambda$：正弦函數波長；$\theta$：Gabor核函數的方向；$\psi$：相位偏移；$\sigma$：高斯函數的標準差；$\gamma$： 空間的寬高比。

可以看出Gabor filter是一個復函數，其實部為：

$$g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=\exp \left(?\frac{x^{\prime 2}+{\gamma }^2{y}^{\prime 2}}{2{\sigma }^2}\right)\cos \left(2\pi \frac{x^{\prime }}{\lambda }+\psi \right)$$

其虛部為：

$$g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=\exp \left(?\frac{x^{\prime 2}+{\gamma }^2{y}^{\prime 2}}{2{\sigma }^2}\right)\sin \left(2\pi \frac{x^{\prime }}{\lambda }+\psi \right)$$

此外，還有對數Gabor函數：

$$G(f)=\exp \left(\frac{?(log(f/f_0){)}^2}{2(log(\sigma /f_0){)}^2}\right)$$

Gabor濾波的效果

參考文獻3，給出了Gabor濾波的效果圖，如下所示：

從效果來看，該濾波可獲得美術上的浮雕效果。但實際上，大多數的邊緣檢測算法都可得到類似效果，這并不是Gabor濾波的主流用法。

以下對參考文獻3做一個補充說明：

1.Gabor濾波是復數域的，這點和之前提到的濾波算法有很大的不同。因此，Gabor濾波計算核的方法有3種：復數、實部和虛部。參考文獻3采用的是實部法。1987年，J.P. Jones和L.A. Palmer發現Gabor變換所采用的核（Kernels）的實部與哺乳動物視覺皮層簡單細胞2D感受野剖面（Profile）非常相似。

2.實部計算的結果有正有負。參考文獻3給出的歸一化算法，很有通用性，摘錄如下：

$$G(x,y)=\frac{(f(x,y)?min(F))?D}{max(F)?min(F)}$$

其中，F為源圖像所有像素的集合，D為總的灰度級數。

Gabor濾波采樣方式與圖像壓縮

Gabor濾波和之前的濾波算法的另一大差異是：Gabor濾波核不是一個，而是由若干不同參數組合而成的一組核，其中的每一個參數組合被稱為一個采樣點。

從Gabor filter的計算公式亦可看出，組成采樣點的參數，既有時空域參數，也有頻域參數。這些采樣點在時空域和頻域中如何分布，才能達到最終效果呢？

由于Gabor filter不是正交基，因此針對采樣點分布提出了Tight Frame的概念。參考文獻1給出了滿足Tight Frame要求的采樣點分布方式（簡稱采樣方式）的條件。這里的推導非常復雜，但從概念上可以類比信號處理中的奈奎斯特采樣定理。

Tight Frame有個重要特性：

如果采樣方式滿足Tight Frame條件，且圖像集B=Gabor(圖像A),圖像C=Gabor?1(圖像集B)分別表示Gabor變換及其逆變換。

參考文獻2給出了采用上述方法對Lena圖進行壓縮并還原的例子。這也是Gabor濾波在圖像處理領域的早期典型應用。

Gabor濾波與模式識別

2000年以后，科學界對Gabor濾波的研究，主要集中在模式識別方面。比如圖2就是參考文獻4中給出的人臉識別方面的Gabor濾波效果圖。其中，左邊是原圖，而右邊是40組不同參數的Gabor濾波器所得到的濾波效果圖。

注：1幅原圖變成40幅濾波效果圖的過程，在數學上是個升維過程。在后處理階段為了處理的方便，往往會進行數據降維，如參考文獻5所示。

從中還可以看出，雖然圖1顯示出一定的藝術處理效果，但大多數情況下，Gabor濾波所得的圖像是如圖2所示的極度扭曲而無明顯意義的圖片。Gabor濾波的真正用途，并不是給人看，而是給機器看。

從上面的討論可知，Gabor濾波是一種帶通濾波，使用不同的時空域或頻域參數，可以過濾出不同的時空域或頻域特征。這些特征正是模式識別所需要的。

圖3是參考文獻4給出的一種Gabor濾波器的使用場景圖，從中可以看出Gabor濾波效果圖是如何應用到人臉識別技術中的。

必須指出的是：Gabor濾波效果圖的后處理方法有很多種，而圖3僅是其中一種而已。

參考

1.1996年IEEE論文：Image Representation Using 2D Gabor Wavelets

作者：Tai Sing Lee，哈佛大學博士，卡內基梅隆大學教授。

2.1988年IEEE論文：Complete Discrete 2-D Gabor Transforms by Neural Networks for Image Analysis and Compression

作者：JohnG. Daugman，哈佛大學博士，劍橋大學教授。

3.http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/24745945

4.Face recognition using Ada-Boosted Gabor features

作者：Peng Yang，Shiguang Shan，Wen Gao，Stan Z. Li，Dong Zhang，中科院計算所和微軟亞洲研究院的幾個小牛。

5.http://www.cnblogs.com/Jack-Lee/p/3649114.html

Schmid濾波

Schmid濾波器是一種類Gabor濾波器。其計算公式為：

$$F(r,\sigma ,\tau )=\frac{1}{Z}\cos \left(\frac{2\pi \tau r}{\sigma }\right)e^{?\frac{r^2}{2{\sigma }^2}}$$

下圖是Schmid濾波器和Gabor濾波器的“核”圖像?！昂恕眻D像是濾波器“核”函數的圖像化展示。

其中，前13個是Schmid濾波器，后8個是Gabor濾波器?！昂恕眻D像中的白色部分，實際上就是該濾波器的帶通部分。

從中可以看出，Gabor濾波器有方向性，而Schmid濾波器是各向同性的。

參考

2010年IEEE論文：Constructing models for content-based image retrieval

作者：Cordelia Schmid，女，卡爾斯魯厄理工學院博士?，F在INRIA（法國國家信息與自動化研究所）從事研究工作。

轉載至：

http://antkillerfarm.github.io/

總結

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