1 概述


2 3 　　樹狀數組是一個查詢和修改復雜度都為log(n)的數據結構，假設數組a[1..n]， 用lowbit函數維護了一個樹的結構那么查詢a[1]+...+a[n]的時間是log級別的，而且是一個在線的數據結構， 4 　　支持隨時修改某個元素的值，復雜度也為log級別。 5 　　來觀察這個圖： 6 　　令這棵樹的結點編號為C1，C2...Cn。令每個結點的值為這棵樹的值的總和，那么容易發現： 7 　　C1 = A1 8 　　C2 = A1 + A2 9 　　C3 = A3 10 　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4 11 　　C5 = A5 12 　　C6 = A5 + A6 13 　　C7 = A7 14 　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 15 　　... 16 　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16 17 　　這里有一個有趣的性質： 18 　　設節點編號為x，那么這個節點管轄的區間為2^k（其中k為x二進制末尾0的個數）個元素。因為這個區間最后一個元素必然為Ax， 19 　　所以很明顯：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An 20 　　算這個2^k有一個快捷的辦法，定義一個函數如下即可： 21 　　int lowbit(int x){ 22 　　return x&(x^(x–1)); 23 　　} 24 　　當想要查詢一個SUM(n)(求a[n]的和），可以依據如下算法即可： 25 　　step1:　令sum = 0，轉第二步； 26 　　step2:　假如n <= 0，算法結束，返回sum值，否則sum = sum + Cn，轉第三步； 27 　　step3: 令n = n – lowbit(n)，轉第二步。 28 　　可以看出，這個算法就是將這一個個區間的和全部加起來，為什么是效率是log(n)的呢？以下給出證明： 29 　　n = n – lowbit(n)這一步實際上等價于將n的二進制的最后一個1減去。而n的二進制里最多有log(n)個1，所以查詢效率是log(n)的。 30 　　那么修改呢，修改一個節點，必須修改其所有祖先，最壞情況下為修改第一個元素，最多有log(n)的祖先。 31 　　所以修改算法如下（給某個結點i加上x）： 32 　　step1: 當i > n時，算法結束，否則轉第二步； 33 　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)轉第一步。 34 　　i = i +lowbit(i)這個過程實際上也只是一個把末尾1補為0的過程。 35 　　對于數組求和來說樹狀數組簡直太快了! 1 int lowbit(int x) 2 { 3 return x&(-x); 4 } 5 6 7 int sum(int k) 8 { 9 int ans=0; 10 while(k>0) 11 { 12 ans+=c[k]; 13 k=k-lowbit(k); 14 } 15 return ans; 16 } 17 18 19 int add(int pos ,int num) 20 { 21 while(pos<=n) 22 { 23 c[pos]+=num; 24 pos+=lowbit(pos); 25 } 26 }

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與線段樹的比較樹狀數組是一個可以很高效的進行區間統計的數據結構。在思想上類似于線段樹，比線段樹節省空間，編程復雜度比線段樹低，但適用范圍比線段樹小。以簡單的求和為例。設原數組為a[1..N]，樹狀數組為c[1..N]，其中c[k] = a[k-(2^t)+1] + ... + a[k]。比如c[6] = a[5] + a[6]。也就是說，把k表示成二進制1***10000，那么c[k]就是1***00001 + 1***00010 + ... + 1***10000這一段數的和。設一個函數lowestbit(k)為取得k的最低非零位，容易發現，根據上面的表示方法，從a[1]到a[k]的所有數的總和即為sum[k] = c[k] + c[k-lowestbit(k)] + c[k-lowestbit(k)-lowestbit(k-lowestbit(k))] + ... 于是可以在logk的時間內求出sum[k]。當數組中某元素發生變化時，需要改動的c值是c[k],c[k+lowestbit(k)], c[k+lowestbit(k)+lowestbit(k+lowestbit(k))] ... 這個復雜度是logN (N為最大范圍)擴展到多維情況：以二維為例，用c[k1][k2]表示c[k1-(2^t1)+1][k2-(2^t2)+1] + ... + c[k1][k2]的總和。可以用類似的方法進行處理。復雜度為(logn)^k (k為維數)樹狀數組相比線段樹的優勢：空間復雜度略低，編程復雜度低，容易擴展到多維情況。劣勢：適用范圍小，對可以進行的運算也有限制，比如每次要查詢的是一個區間的最小值，似乎就沒有很好的解決辦法。多維情況的幾道題目:POJ 2155 MatrixURAL 1470 UFOs其中POJ 2155是一道很不錯的題目，表面上看，這題的要求似乎和樹狀數組的使用方法恰好相反，改變的是一個區間，查詢的反而是一個點。實際上可以通過一個轉化巧妙的解決。首先對于每個數A定義集合up(A)表示{A, A+lowestbit(A), A+lowestbit(A)+lowestbit(A+lowestbit(A))...} 定義集合down(A)表示{A, A-lowestbit(A), A-lowestbit(A)-lowestbit(A-lowestbit(A)) ... , 0}。可以發現對于任何A<B，up(A)和down(B)的交集有且僅有一個數。于是對于這道題目來說，翻轉一個區間[A,B]（為了便于討論先把原問題降為一維的情況），我們可以把down(B)的所有元素的翻轉次數+1，再把down(A-1)的所有元素的翻轉次數-1。而每次查詢一個元素C時，只需要統計up(C)的所有元素的翻轉次數之和，即為C實際被翻轉的次數。實際實現時，由于只考慮奇偶，因此無須統計確切的翻轉次數。另外，如果翻轉up(A)和up(B+1)，查詢down(C)，也是同樣的效果。這種方法可以很容易地擴展到二維情況。比起線段樹、四分樹之類的常規思路，無論編程復雜度還是常數速度上都有很大優勢。 二維樹狀數組：int lowbit(int x) {return x&(-x); }void add(int x,int y,int d)//或for循環 s 是節點個數 {int i=x;int j=y;while(i<=s){j=y;while(j<=s){map[i][j]+=d;j=j+lowbit(j);}i=i+lowbit(i);} }int sum(int l,int b) {int i=l;int j=b;int ans=0;while(i>0){j=b;while(j>0){ans+=map[i][j];j-=lowbit(j);}i-=lowbit(i);}return ans; }

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總結

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