??????遞歸是一種簡化運(yùn)算規(guī)模的方法。將每個(gè)問題分為一個(gè)個(gè)子問題，子問題從結(jié)構(gòu)上來看與原問題相同，但是運(yùn)算規(guī)模小于原問題。不斷遞歸下去，直到有一個(gè)子問題是已知可解決的。反過來再將每一個(gè)完成的子問題作為父問題的輸入，直到回到第一層得到最終的結(jié)果。

??????書中把遞歸分為了歸納法，分治法，和動(dòng)態(tài)規(guī)劃。由于課程中動(dòng)態(tài)規(guī)劃占的課時(shí)比重較大，所以把它單列一篇博客，本文只介紹歸納法和分治法。

??????歸納法和分治法的差別就像，歸納法是一個(gè)一個(gè)的遞歸，類似于棧的結(jié)構(gòu)。分治法的遞歸像樹的結(jié)構(gòu)，在不斷向下的同時(shí)也不斷分裂成為更小規(guī)模。下面就介紹一下歸納法和分治法吧！

一、 歸納法（尾遞歸）：

??????歸納法源自數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)我們已知如何求解一個(gè)小一點(diǎn)的數(shù)量的時(shí)候，想要求一個(gè)更大的數(shù)量，只需要把小數(shù)做一個(gè)擴(kuò)展即可。下面從兩個(gè)例子出發(fā)：

5.2.1選擇排序：

??????在前文中對(duì)選擇排序，進(jìn)行了介紹。從第一個(gè)數(shù)字開始，向后依次選出最小的交換至當(dāng)前開頭。在遞歸中，如果我們已知如何將從1-n中選擇出最小的元素。那么接下來就可以使用遞歸完成操作。

??????從遞歸調(diào)用中，元素的比較次數(shù)為：
??????最后求出的時(shí)間復(fù)雜度是O（n^2）。

5.2.2插入排序：

??????插入排序是一個(gè)從后往前的過程，假如我已知如何對(duì)第n個(gè)元素進(jìn)行插入排序，那么依次向前遞歸就能是數(shù)組有序。

??????最后求出的時(shí)間復(fù)雜度是O（n^2）

5.4整數(shù)冪

??????對(duì)于正數(shù)冪的運(yùn)算通常是使用<math.h>頭文件中包含的pow函數(shù)。但如果禁止使用該函數(shù)，常規(guī)一點(diǎn)的想法是將n個(gè)x相乘。這要n-1次乘法。（已經(jīng)證實(shí)調(diào)用pow函數(shù)所花費(fèi)的時(shí)間大于自己編寫實(shí)現(xiàn)乘方的函數(shù)）。相較于輸入來說是指數(shù)級(jí)。于是我們采取以下算法：假設(shè)我們已經(jīng)知道如何計(jì)算x的（n/2)次方，這么可以再通過一次平方得到x^2。以此種方法，類推下去就可以求出x的任意次方，偽代碼如下：

5.7尋找多數(shù)元素：

??????多數(shù)元素的定義：數(shù)組A中元素a出現(xiàn)的次數(shù)大于n/2向下取整，則認(rèn)為a是多數(shù)元素。

??????求解多數(shù)元素，方法一是使用蠻力法：從第一個(gè)元素開始，依次向后掃描，計(jì)算每對(duì)相同的個(gè)數(shù)最后得出結(jié)論，這樣的時(shí)間復(fù)雜度是O（n^2）。較方法一更好的方法二是對(duì)數(shù)組進(jìn)行排序(選用最佳的排序算法，時(shí)間復(fù)雜度是O（nlogn）)，由多數(shù)元素的特點(diǎn)知，位于n/2向上取整的元素有可能是多數(shù)元素，再花費(fèi)O（n）的時(shí)間進(jìn)行判斷。總體時(shí)間復(fù)雜度是O（nlogn）。第三種算法是從第一個(gè)元素開始，向后掃描，遇到相同的count加1（count初始化為0），遇到不同的count減一，看最終count和零比較，若大于零則是多數(shù)元素。并且可以將此過程遞歸，程序偽代碼如下圖：

二、分治法

??????分治的主要思想是把大規(guī)模數(shù)據(jù)劃分成小規(guī)模，再把小規(guī)模數(shù)據(jù)組合起來。通常這樣的做法能夠使算法時(shí)間復(fù)雜度降低一個(gè)數(shù)量級(jí)。在

??????通常情況下，分治都是使用二分法。下文中很多例子都是基于二分法的思想提出的。下面結(jié)合一些具體應(yīng)用，體會(huì)遞歸中的分治法思想。

1. 尋找最大最小值：

??????遍歷整個(gè)數(shù)組，尋找最大最小值所花費(fèi)的比較次數(shù)具體是2n-2，可以使用另一種思想：將數(shù)組分割成兩半，尋找到每部分的最大最小值，再將兩部分做比較，較大值作為最大值，較小值作為最小值。依次遞歸下去，根據(jù)遞推公式可求得該比較次數(shù)為3n/2-2。偽代碼如下：

2. 二分搜索：

??????二分搜索是一種常用于有序數(shù)組得搜索方式，通過和中間的數(shù)字進(jìn)行比較確定下一次比較的范圍。時(shí)間復(fù)雜度為O（logn）。具體的偽代碼如下：

??????注意：在本遞歸算法中，需要O（logn）的空間復(fù)雜度，而在迭代算法中只需要O(1)得空間復(fù)雜度。我理解為在于遞歸過程中需要保存每層迭代的mid值。

3. 合并排序：

??????合并排序是將數(shù)組從上方不斷分為兩部分，直至最小部分后。再反向排序遞歸向上，時(shí)間復(fù)雜度為O（nlogn）。合并排序需要O(n)的輔助空間。這也是合并排序的缺點(diǎn)之一。具體的偽代碼如下圖：

??????需要注意的是合并排序和自底向上排序不是完全一樣的（不然也不會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)名字）。合并排序強(qiáng)調(diào)相對(duì)均分，無論奇數(shù)還是偶數(shù)。自底向上排序在最底層是兩兩集合的，如果剩下單個(gè)是不會(huì)加入到過程中的排序的（這是兩者最大的區(qū)別）。所以當(dāng)使用二分法，并且數(shù)組大小是2的冪次方時(shí)，兩者并無區(qū)別。

?????? 為什么說，歸并排序的實(shí)現(xiàn)類似于二叉樹的后序遍歷？
???????????從總體上看，歸并排序的結(jié)構(gòu)以二叉樹型存在。而且在排序的實(shí)現(xiàn)過程中，都是從下往上的（此處理解為先葉子節(jié)點(diǎn)再根節(jié)點(diǎn)），與后序遍歷類似。而且從分層方面，每一層排序(merge排序)的時(shí)間復(fù)雜度都是o(n)。層數(shù)為logn層，也解釋了時(shí)間復(fù)雜度是O（nlogn）

??????對(duì)于分治操作大致可分為三個(gè)主要步驟：劃分、治理、組合。不同算法對(duì)三個(gè)步驟的時(shí)間復(fù)雜度是不同的。在治理步驟中，比較重要是的尋找一個(gè)合適的闕值，如果數(shù)據(jù)規(guī)模小于闕值，可以直接采用簡單方法，而不會(huì)對(duì)時(shí)間造成較大影響。照目前我掌握的知識(shí)來看，組合的算法時(shí)間復(fù)雜度很大程度上決定了最后遞歸的好壞。

4. 尋找中項(xiàng)和第k個(gè)元素（SELECT方法）

??????常規(guī)做法是將數(shù)組排序后，選擇對(duì)應(yīng)位置。這樣的時(shí)間復(fù)雜度是O（nlogn）。提出一種選擇的思想：將數(shù)組劃分，選擇出每個(gè)劃分組的中值，組成數(shù)組A。再從A中選出中值B。將數(shù)組分為三部分：大于B，小于B，等于B。并且出三組內(nèi)對(duì)應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，和想要尋找位置進(jìn)行比較。選擇合適的組，再進(jìn)行遞歸，直到結(jié)果。具體的偽代碼如下：

??????可證，這種選擇法的時(shí)間復(fù)雜度是O（n）。

5. 快速排序：

??????快速排序是一種時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)的算法。基本思想利用了分治的思想。治理的過程調(diào)用了SPLIT算法，SPLIT算法思想是選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)組中小于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)全部放在標(biāo)準(zhǔn)左側(cè)，大于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)全部放在標(biāo)準(zhǔn)右側(cè)。所以快速排序是原地排序。SPILT的偽代碼如下：

??????對(duì)于SPILT來說，要想達(dá)到做好的效果，要做到兩邊數(shù)據(jù)平衡。若整個(gè)數(shù)組已按照非降序排列，每次SPILT的時(shí)間復(fù)雜度就變成了O（n），而SPILT的次數(shù)也變成了n，整個(gè)快速排序此時(shí)處于最壞情況O(n2)。最佳情況選擇的標(biāo)準(zhǔn)就恰好使兩邊平衡，此時(shí)可以使用前文提到的SELECT算法，直接選出，最中間的數(shù)據(jù)。這是SPILT的時(shí)間復(fù)雜度不變，但次數(shù)變?yōu)閘ogn。總體時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)镺(nlogn)。

??????快速排序雖然使用原地排序，但遞歸過程中需要保存過程中間的標(biāo)準(zhǔn)，所以總體空間復(fù)雜度也是O（n）。

??????在算法設(shè)計(jì)中，乘法消耗的時(shí)間是比較多的。可以采用一種思想：將乘法轉(zhuǎn)換為加法。這樣往往能降低時(shí)間復(fù)雜度的數(shù)量級(jí)。例如常規(guī)矩陣乘法時(shí)間復(fù)雜度是O（n3），使用STRASSEN算法，就能把時(shí)間復(fù)雜度降低至O（n2.81）。

6. 最近點(diǎn)對(duì)問題：

??????最近點(diǎn)對(duì)問題要求求出二維平面中哪兩個(gè)點(diǎn)間距離最小。使用蠻力算法：計(jì)算每一個(gè)點(diǎn)到其余n-1個(gè)點(diǎn)的距離，最后求出最小值。時(shí)間復(fù)雜度為O（n2）。使用CLOSEPATH算法可將時(shí)間復(fù)雜度降低至O（nlogn）。CLOSEPATH算法基于分治思想，選擇中線將二維平面劃分為兩部分。這樣不斷遞歸下去，能找到最短兩點(diǎn)距離。最短有三種情況，兩點(diǎn)都在左側(cè)或右側(cè)，兩點(diǎn)一左一右。在遞歸的過程中，就將兩點(diǎn)在同側(cè)的計(jì)算出來。再選出更小的x1,只需判斷x1和兩點(diǎn)一左一右的最小距離x2誰大誰小即可。若x1更小，則以x1為邊界就足夠。以尋找到x1的中線為標(biāo)準(zhǔn)，向左向右畫長度x1，同意縱向也畫x1長度的表格。形成一個(gè)x1*2x1的矩形。利用鴿舍原理可證明，在表格的一段最多有d。對(duì)于此過程證明相對(duì)繁瑣。本處指的d不一定是實(shí)際存在的點(diǎn)，指的是最多的情況。這些情況都將發(fā)生在邊界上。只需對(duì)邊界及以內(nèi)符合要求的點(diǎn)進(jìn)行判斷即可。對(duì)此判斷的方式選擇了對(duì)Y進(jìn)行排序。對(duì)此問題更為詳細(xì)的介紹可參照博客：https://blog.csdn.net/lishuhuakai/article/details/9133961。link

??????CLOSEPATH的偽代碼如下：

分治法為什么好？

??????從時(shí)間復(fù)雜度的方向解釋，下面的話引自一位博主（原文鏈接：https://blog.csdn.net/code_star_one/article/details/72724555）
link
??????“一個(gè)分治法將規(guī)模為 n 的問題分成 k 個(gè)規(guī)模為 n／m 的子問題去解。設(shè)分解閥值 n0 = 1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費(fèi)1個(gè)單位時(shí)間。再設(shè)將原問題分解為k個(gè)子問題以及用 merge 將 k 個(gè)子問題的解合并為原問題的解需用 f(n) 個(gè)單位時(shí)間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為 |P| = n的問題所需的計(jì)算時(shí)間，則有：
??????T（n）= k T(n/m)+f(n)
??????通過迭代法求得方程的解：
???????????遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時(shí) T(n) 的值，但是如果認(rèn)為 T(n) 足夠平滑，那么由 n 等于 m 的方冪時(shí) T(n) 的值可以估計(jì)T (n) 的增長速度。通常假定 T(n) 是單調(diào)上升的，從而當(dāng) mi ≤ n < mi+1時(shí)，T(mi) ≤ T(n) < T(mi+1)。“

??????在很多情況下，分治法的時(shí)間復(fù)雜度決定于組合算法的選擇。選擇正確的組合算法有可能使時(shí)間復(fù)雜度降低一個(gè)數(shù)量級(jí)。如：最小點(diǎn)對(duì)問題。

??????本文作者水平有限，如有不正確之處。請(qǐng)各位下方評(píng)論區(qū)指正。謝謝！

總結(jié)

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