定点数运算
??????本篇文章討論定點數(shù)的運算。因作者水平有限，本文只討論補碼加減運算、原碼加減運算、原碼1位乘法運算、原碼除法。其余運算請參照其他高手的文章。下面我們開始吧！
運算硬件結(jié)構(gòu)：
??????在計算機中，加減乘除四種運算實質(zhì)上是由加法器和移位器組合完成。本文為便于讀者了解，在過程中附帶了幾張進行加減乘除運算的硬件結(jié)構(gòu)圖。
??????對于無符號數(shù)來說，只存在進位借位，溢出沒有意義（在此訂正：對于無符號數(shù)而言，存在下溢，即兩個數(shù)相減，結(jié)果被被減數(shù)還要大，即發(fā)生下溢。判斷條件為CF為1）。對于有符號來說，每次進行運算時都要判斷是否發(fā)生溢出。
1. 補碼加減運算：
??????補碼加減的運算公式如下：
??????運算部件：
??????運算部件介紹：
?????????X,Y為兩個輸入，其中Y為加數(shù)，X為被加數(shù)。
???????? Sub代表是否具有減法運算（sub為1時為減法，為0時為加法）。 ZF(zero flag)代表結(jié)果是否為零（ZF為1時結(jié)果為0，為0時結(jié)果非零）。
????????OF（overflow flag）代表是否發(fā)生了溢出（OF為1是溢出，為0時未溢出）。注意此位對于帶符號運算有意義，無符號運算無意義。
????????SF（sign flag）代表結(jié)果的符號（SF為1代表負數(shù)，為0代表正數(shù)），注意此位對于帶符號運算有意義，無符號運算無意義。
????????CF（借/進位 flag）代表無符號數(shù)運算是否發(fā)生進位（加法）、借位（減法）。（CF為1代表加法有進位，減法有借位，為0代表運算正常）。 注意此位對于無符號運算有意義，帶符號運算無意義。
??????對于補碼加減法而言，將加數(shù)和被加數(shù)全部轉(zhuǎn)換成補碼進行運算即可，（減法轉(zhuǎn)變成加上相反數(shù)的補碼）。重點在于對是否溢出做判斷。無符號數(shù)的加減可以看作是正數(shù)補碼的加減（對于正數(shù)來說，補碼為其本身，并沒有改變數(shù)值，但此處不是十分確定，歡迎高手批評指正），故也能使用這種運算部件來判斷。
?????? 設(shè)運算數(shù)為a,b和為c：
??????一個比較簡單的方式就是：由于前后加減運算要求位數(shù)相同，如果a,b的符號位均為0或1，而c的符號與兩者相反，則此時一定發(fā)生溢出。（通俗的解釋就是正數(shù)加正數(shù)結(jié)果不可能為負數(shù)，負數(shù)加負數(shù)（負數(shù)減正數(shù)）結(jié)果也不可能為正數(shù)）。但計算機不能像人類這樣直觀的判斷，它憑借的還是前文所介紹運算結(jié)構(gòu)的輸出，憑借以下兩種邏輯表達式進行判斷：
??????下面結(jié)合一個具體例子進行分析：
??????C(n)代表符號位進位，也是最高位進位，若未進位則此位為0。C（n-1）代表非符號最高位進位，若未進位為0。這兩個例子滿足兩個邏輯表達式。
2. 原碼加減：
??????原碼加減沒有補碼加減應(yīng)用廣泛，原碼加減主要應(yīng)用在浮點數(shù)做加減。原因是浮點數(shù)的尾數(shù)使用原碼表示。本文主要介紹定點數(shù)，對此貼張圖說明運算規(guī)則即可：
3. 原碼1位乘法：
??????運算結(jié)構(gòu)如圖：
??????運算結(jié)構(gòu)介紹：初始化被乘數(shù)在寄存器X中，對于N乘N來說結(jié)果是2N位。乘積寄存器P存儲結(jié)果高32位，寄存器Y原存儲乘數(shù)后存儲結(jié)果低32位。
??????值得注意的是對于乘法運算來說，任意一個乘數(shù)為0結(jié)果為0.所以在正式運算開始之前會進行一個預(yù)判，若有任意一個為0，則直接結(jié)果設(shè)置為0。同時兩個n位數(shù)相乘，所得結(jié)果為2n位。運算結(jié)束后，高n位為0表示正常，只保留低n位作為乘積結(jié)果。如果高n位不為0，則表示n位運算溢出。
??????結(jié)果的符號位由乘數(shù)及被乘數(shù)的符號位異或運算可得。本文主要介紹最終結(jié)果是如何得到的。
??????手寫的過程如下：
??????根據(jù)手寫的規(guī)律看，隨著每位的乘法，結(jié)果不斷向左移。
??????在計算機執(zhí)行中，做了相應(yīng)的一點改變以優(yōu)化效率。為了減少對于過程中變量的存儲，選擇了保留部分積，即每次運算都在上一步得到的結(jié)果上進行操作。同時對變左移為對部分積的右移。若乘數(shù)位為1則加上被乘數(shù)后進行右移，若乘數(shù)為0則直接進行右移。下面結(jié)合一個具體的例子來進行分析：
??????例題中可知，符號位C即為和的進位，同時也作為P右移的補位，P中最低位進入Y中作為最高位。本題中只有四位，所以右移四位即可。在實際計算機中，右移的位數(shù)由計數(shù)器控制。
4. 原碼除法：
??????除法有規(guī)定，除數(shù)不能為零。所以計算機在執(zhí)行過程中會先進行一個預(yù)處理，判斷如果除數(shù)為0，對于定點數(shù)來說C語言中會直接拋出異常。如果被除數(shù)為0，則直接輸出0。商的符號位是由兩數(shù)符號位異或操作獲得。
?????? 下面附帶一章代碼實例運行的圖說明定點數(shù)除數(shù)不可為0問題（輸出為空，拋出異常）：
??????運算結(jié)構(gòu)如圖：
??????運算結(jié)構(gòu)介紹：
?????????為了保證結(jié)果和輸入位數(shù)相同，對被除數(shù)做擴張至位數(shù)為2n。除數(shù)存儲在寄存器Y中，余數(shù)和商作為最終結(jié)果存儲在一起。在擴展的過程中如果是整數(shù)，在高位添加n個0。如果是小數(shù)，在低位添加n個0。（一定要記住，不要搞反）
?????????在手算除法中，每步都要進行一次嘗試，看目前的結(jié)果能否足夠除以除數(shù)，夠除商上1并將兩數(shù)做減。不夠除上0，除數(shù)右移。稱之為“上商”。具體手算過程如圖：
??????在計算機中，原除數(shù)右移變?yōu)楣潭ǔ龜?shù)而被除數(shù)左移。所以整個過程由加法和左移兩部分完成。
??????計算除法大致方法分為兩種：恢復(fù)余數(shù)法和加減交替法。兩種方法從原理上看，是相同的。只是對等式做了變形。下面對兩種方法進行具體介紹：
1）恢復(fù)余數(shù)法：
??????當(dāng)部分商與除數(shù)做減后小于0，說明當(dāng)前部分上不夠減需要向左移。那么先將減去的除數(shù)加回來恢復(fù)上一步的部分商再左移。如此循環(huán)下去，直到左移位數(shù)達到除數(shù)的位數(shù)即止。下面根據(jù)一個具體例子來進行分析：
??????本題是兩個小數(shù)之間進行除法運算，包括符號位共有5位，做擴展即在低位擴展5位。當(dāng)每次和符號位為1時，則恢復(fù)余數(shù)后左移。整體共左移4次，最后一位補位即可不需左移。
2） 加減交替法：
??????加減交替法是根據(jù)部分商的正負決定是加Y還是減Y，當(dāng)部分商小于0時則加Y，當(dāng)部分商大于零時則減Y。這里的部分商指的是移位之前的部分商。每次進行完加法后先進行移位，在加或者減，下面結(jié)合上文提到的例子來分析：
??????在本例中每次加法過后，則進行加Y/減Y。最終四次移位五次補位后得到結(jié)論。
??????在本文末尾介紹一下異常：
異常不同于BUG，是無法被編譯器檢驗出來的。會通過不合理的輸出反應(yīng)。異常出現(xiàn)的幾種情況：
??????1）定點數(shù)運行時產(chǎn)生除零的情況
??????2）需要打開的文件不存在
??????3）數(shù)組訪問時越界
??????對異常部分參照博客：https://blog.csdn.net/small_prince_/article/details/80533159link
??????本文介紹的定點數(shù)運算至關(guān)重要，它直接關(guān)系到浮點數(shù)的正常運算。只有理解定點數(shù)，才能更好的明白浮點數(shù)。加油呦~
總結(jié)
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