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【线性代数本质】4：矩阵乘法本质

發布時間：2025/3/15 编程问答 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【线性代数本质】4：矩阵乘法本质小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一：矩陣乘法
二：其它問題
- （1）矩陣為什么不可以交換？
- （2）矩陣為什么滿足結合律？

一：矩陣乘法

前面所講的幾節內容中涉及的變換都是單一的變換，那么如果你想描述多種連續的變換呢，或者稱為復合變換

比如下圖，先將平面逆時針旋轉90°，然后再進行剪切。這很明顯是兩個變換，但是從總體上看可以看作是一個復合變換，是旋轉和剪切作用的總和

和其他變換一樣，描述這種變換我們也可以通過記錄變換后的 $i j$ 來實現，矩陣表示為 $(1?110)\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ 。這一新的矩陣捕捉到了兩個變換的總體效應，但它的確是一個單獨的作用

按照我們前文所講，如果讓一個向量 $(xy)\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ 乘以矩陣就會對其施加該矩陣所表示的線性變換，那么如果按照變換兩次的角度來看，應該就是先乘以一個旋轉矩陣，所得結果再乘以一個剪切矩陣
$(1110)((0?110)(xy))\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix})$

如果從總體角度上看，那么上面矩陣的效果或者說結果，應該和復合變換所對應的矩陣是一致的
$(1?110)(xy)\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$

也即
$(1110)((0?110)(xy))=(1?110)(xy)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}(\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$

約去等式相同部分，那么兩者之積理應是相同的
$(1110)(0?110)=(1?110)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

這兩個矩陣的作用是需要從右往左看的，如下，可以理解為先 $M_{1}$ 后 $M_{2}$ ，矩陣 $M_{2}$ = $(1101)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ 作用于 $M_{1}$ 的第一列得到 $(11)\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$ ，同樣矩陣 $M_{2}$ = $(1101)\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ 作用于 $M_{1}$ 的第二列得到 $(?10)\begin{pmatrix} -1\\ 0\end{pmatrix}$

其實，在實際計算中我們不用這么算，因為有一種普適性的方法可以計算出結果矩陣，也即

$(abcd)(efgh)=(ae+bgaf+bhce+dgcf+dh)\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f\\ g & h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{pmatrix}$

其實大家也能看到，這不就是我們熟知的矩陣乘法嗎，但是我們的教育中太過重視怎么算的問題，但是怎么算根本就不是矩陣的本質的問題，它只是一種所謂的“技巧”，一種可以幫助你快速得到復合變換結果的計算方法，所以大家一定要明白矩陣乘法的本質，而不應該迷失在數字的世界中

二：其它問題

（1）矩陣為什么不可以交換？

我們都知道，矩陣是不滿足交換律的，也即 $AB≠BAAB\neq BA$ ，那么為什么呢？在課本練習中，通常會采用代數運算的方法，通過上面的計算公式加以計算然后計算出它們不相等，其實這是根本沒有必要的，因為這不是本質問題，這只是一種表示方式，沒有說到問題的本質上

如果拿上面的例子，我們先左的是旋轉再做的是剪切，對應的就是 $M_{2}M_{1}$ ，那么最終效果如下

如果做左剪切，再做旋轉，也即 $M_{1}M_{2}$ ，最終效果如下

大家可以發現最終效果完全不一致了，也就說這根本不是一個變換，自然也就不可交換

（2）矩陣為什么滿足結合律？

我們都知道，矩陣滿足結合律，也即 $(A B) C = A (B C)$ ，那么為什么呢？
這個其實就很明白了，因為在這種情況下無論你先計算AB然后再計算ABC，還是先計算BC然后再計算ABC，最終的變換效果是一致的，那么自然而然是滿足結合律的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数本质】4：矩阵乘法本质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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