圖的應用：最短路徑

• 思維導圖：
• 最短路徑的定義：
• BFS算法：(無權單源最短路徑)
• Dijkstra算法：(無權單源、帶權單源)
• • Dijkstra算法原理：
  • 算法實現中的輔助數組：
  • 例：
  • 如何通過path[]數組找到0到其他頂點的路徑？
  • Dijkstra算法的代碼實現：
  • Dijkstra算法適用范圍及性能：
• Floyd算法：
• • Floyd算法原理：（動態規劃）
  • 例：
  • Floyd算法的代碼實現：
  • 性能分析：
  • 例：
  • 缺點：
• 三種算法的對比：

思維導圖：

最短路徑的定義：

BFS算法：(無權單源最短路徑)

void BFS_Distance(Graph G，int v){for(int i=0;i<G.vexnum;++i)d[i] = MAX;visited[v] = true;d[v] = 0;EnQueue(Q,v);while(!isEmpty(Q)){ //不空還有未遍歷到的節點 DeQueue(Q,v); //出隊v for(w = FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w)) //找到所有符合條件的鄰接節點 if(!visited[w]){ //w是否被訪問 visited[w] = true; //修改該頂點對應數組的值為trued[w] = d[v] + 1;EnQueue(Q,w); //入隊 }} }

Dijkstra算法：(無權單源、帶權單源)

后續補充：至原理之前

Dijkstra算法原理：

注： 此算法只解決單源問題，即從一個確定頂點到其他所有頂點的路徑問題

ps：

1、先初始化一個空結果集 2、讓某一節點進入結果集 3、從非結果集中的頂點中選出一條最小權重的邊，并將該邊的另一個頂點加入結果集 4、從結果集的頂點出發到新加入的頂點的路徑不止一條，要從多條路徑中選出最短的一條，并修改對應數組值 5、重復3、4操作直到所有的頂點都加入到結果集中

要是實在看不懂，下面有具體實例講解

算法實現中的輔助數組：

算法實現中用到的輔助數組：

1、s[]數組：標記已經加入了結果集的頂點 2、dist[]數組：從一個v0（某一個確定的節點）出發到各個節點的最短路徑，若有多條路徑選擇最短的一條記錄 3、path[]數組：記錄到達該節點的前驅節點的數組下標，A->B->C,到達C的前驅節點為B

例：

這是重點，幫助理解；這是重點，幫助理解

后續的思路與上述相同，就不再贅述。

如何通過path[]數組找到0到其他頂點的路徑？

ps：
因為path[4] = 2,即4的前驅是2
又path[2] = 0,即2的前驅又是0
又path[0] = -1，即0就是序列頭節點
所有得到了序列0—>2—>4
其他原理類似，不在贅述

Dijkstra算法的代碼實現：

void Dijkstra(Graph G,int v){ //圖和源點 //初始化三個數組 int s[G.vexnum];int path[G.vexnum];int dist[G.vexnum];for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ dist[i] = G.edge[v][i];s[i] = 0;if(G.edge[v][i] < MAX)path[i] = v;elsepath[i] = -1;} s[v] = 1;path[v] = -1;//尋找dist[]數組最小值 for(i=0;i<G.vexnum;i++){int min = MAX;int u;for(int j=0;j<G.vexnum;j++)if(s[j]==0 && dist[j]<min){min = dist[j];u = j;}s[u] = 1; //將u加入結果集 //加入了新的節點，更新數組 for(int j=0;j<G.vexnum;j++)if(s[j]==0 && dist[u]+G.Edge[u][j] < dist[j]){dist[j] = dist[u]+G.Edge[u][j];path[j] = u;}} }

Dijkstra算法適用范圍及性能：

時間復雜度：O(|V|2)
存在負權值的圖無法用Dijkstra算法

Floyd算法：

后期補充：至算法原理之前

Floyd算法原理：（動態規劃）

A(0)矩陣表示加入0節點后的矩陣
A(1)矩陣表示加入節點1后的矩陣
ps：
在原來的結果集中加入一個節點k
節點i到節點k原有路徑 與 經過k的路徑比較
選最短的一條

例：

Floyd算法的代碼實現：

void Floyd(Graph G){int A[G.vexnum][G.vexnum];//初始化for(int i=0;i<G.vexnum;i++)for(intj=0;j<G.vexnum;j++)A[i][j] = G.Edge[i][j];//對每一個值進行修改for(int k=0;k<G.vexnum;k++) //考慮以Vk作為中轉點//修改某個值for(int i=0;i<G.vexnum;i++) //遍歷矩陣i為行號，j為列號for(intj=0;j<G.vexnum;j++)if(A[i][j] > A[i][k] + a[k][j]) //判斷路徑是否最優A[i][j] = A[i][k] + a[k][j]; //更新最短路徑長度//path[i][j] = k; }

性能分析：

時間復雜度：O(|V|^3)
空間復雜度：O(|V|^2)

例：

缺點：

三種算法的對比：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构之图的应用：最短路径（Dijkstra、Floyd）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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