“在微積分學中，主要是從連續性、可微性、黎曼可積性三個方面來討論函數（包括函數序列的極限函數）。如果說微積分學所討論的函數都是性質“良好”的函數（例如往往假設函數連續或只有有限個間斷點），那么，實變函數論是從連續性、可微性、可積性三個方面討論最一般的函數，包括從微積分學來看性質“不好”的函數。它所得到的有關的結論自然也適用于性質“良好”的函數。實變函數論是微積分學的發展和深入。
　　函數可積性的討論是實變函數論中最主要的內容。它包括H.L.勒貝格的測度、可測集、可測函數和積分以及少許更一般的勒貝格－斯蒂爾杰斯測度和積分的理論（見勒貝格積分）。這種積分比黎曼積分是更為普遍適用和更為有效的工具，例如微積分基本定理以及積分與極限變換次序。精美的調和分析理論(見傅里葉分析)就是建立在勒貝格積分的基礎上的。此外，還適應特殊的需要而討論一些特殊的積分。例如為討論牛頓－萊布尼茨公式而有佩隆積分。由于有了具有可列可加性的測度和建立在這種測度基礎上的積分，導致了與微積分中函數序列的點點收斂和一致收斂不同的一些新的重要收斂概念的產生，它們是幾乎處處收斂、度量收斂（亦稱依測度收斂）、積分平均收斂等。度量收斂在概率論中就是依概率收斂，且具有特別重要的地位。積分平均收斂在一般分析學科中也是常用的重要收斂。傅里葉級數理論以及一般的正交級數理論就是以積分的平方平均收斂為基本的收斂概念。一般正交級數的無條件收斂問題在實變函數論中也有所討論。
　　在函數連續性方面，實變函數論考察了例如定義在直線的子集 $M$（不必是區間）上的函數的不連續點的特征：第一類不連續點最多只有可列個，第二類不連續點必是可列個（相對于 $M$ 的）閉集的并集（也稱和集）的結論；還討論怎樣的函數可以表示成連續函數序列處處收斂的極限，引入半連續函數，更一般地是引入貝爾函數，并討論它們的結構。
　　與研究函數連續性密切相關的就是討論各類重要的點集如 $F_\sigma$, $G_\delta$, $F_{\sigma\delta}$, $G_{\delta\sigma}$，更一般的是波萊爾集及其結構。解析集合論就是在深入討論波萊爾集和勒貝格可測集相互關系基礎上形成的一個數學分支。
　　實變函數論在函數可微性方面所獲得的結果是非常深刻的。設 $f(x)$ 是定義在 $(a,b)$ 上的、在每點取有限值的實函數。對于每個 $x\in (a,b)$，引入四個數：

$$D^+f(x)=\sup_{h>0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

$$D^-f(x)=\sup_{h<0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

$$D_+f(x)=\inf_{h>0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

$$D_-f(x)=\sup_{h<0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

分別稱 $D^+f(x)$, ($D^-f(x)$), $D_+f(x)$ ($D_-f(x)$) 為 $f(x)$ 在 $x$ 處的右方上(下)導數，左方上(下)導數。這四個數（可以是無限大）都相等且有限時，就稱 $f(x)$ 在 $x$ 處是可導的。歷史上人們曾以為 $[a,b]$ 上任何連續函數 $f(x)$ 都至少有一點是可導的，后來K.（T.W.）外爾斯特拉斯舉出了一個反例：

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n\pi x),$$

式中 $0<a<1$, 而 $b$ 是奇數且

$$ab>1+\frac{3\pi}{2}.$$

它是連續的，而在任何一點處都是不可導的。但Α.當儒瓦、W.Η.楊和S.薩克斯證明了：對 $(a,b)$ 上每點取有限值的實函數，必有勒貝格測度是零的集 $E$，使得對任何 $x\in E$，下面三種情況必有一種出現。

① $f$ 在 $x$ 處有有限導數。

②在 $x$ 處的異側的某兩個導數是同一個有限數;另兩個異側導數必定一個是$+\infty$，另一個是 $-\infty$。

③兩個上導數都是 $+\infty$，兩個下導數都是 $-\infty$。

由這個定理又可推出如下重要結果：設 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上單調函數，那么除去一個勒貝格測度是零的集 $E$ 外，$\dfrac{\rd f(x)}{\rd x}$ 必定存在且有限。
　　在實變函數論中還考慮可導點集的特征，多元函數的微分問題以及其他的一些導數概念和不同導數之間的關系。
　　實變函數論不僅應用廣泛，是某些數學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數學分支的應用，對形成近代數學的一般拓撲學和泛函分析兩個重要分支有著極為重要的影響。 ”

?

——選自《中國大百科全書》

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4192841.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的实变函数一窥的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。