?? 正弦信號(hào)在信號(hào)處理中是很常見的，比如通信領(lǐng)域的載波。由于正弦與余弦只是相差π/2的初相，因此這里統(tǒng)稱正弦信號(hào)。給出連續(xù)正弦信號(hào)的表達(dá)式：

式中，A為振幅，Ω為模擬角頻率(rad/s)，φ為初相，f為模擬頻率(Hz)，Ω=2πf?。

? ? ? ??在滿足奈奎斯特采樣定理?xiàng)l件下對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣得到離散正弦信號(hào)x(n)

式中，f_s為采樣頻率，T_s為采樣間隔，T_s=1/f_s，ω為數(shù)字角頻率(rad)，ω=2πf/f_s。

? ? ? ??根據(jù)ω可以判斷x(n)的周期性，若2π/ω為有理數(shù)則x(n)為周期信號(hào)，周期為有理數(shù)的分母，詳情可參考數(shù)字信號(hào)處理類教科書。

? ? ? ??對(duì)N點(diǎn)長(zhǎng)的x(n)進(jìn)行FFT可得其N點(diǎn)長(zhǎng)的離散傅里葉變換(DFT)，記為X(k)。注意，FFT只是DFT的快速算法的總稱。由于x(n)是實(shí)信號(hào)，所以X(k)為對(duì)稱的，只須關(guān)注其前N/2點(diǎn)即可。

? ? ? ??今天要討論的問題來自一篇文檔《為什么要進(jìn)行傅里葉變換》，這是一篇網(wǎng)上很熱門文章，原文出處不詳，給出參考鏈接：網(wǎng)易博客，百度文庫，豆瓣。

? ? ? ??在原文第七部分“七、用Matlab實(shí)現(xiàn)快速傅立葉變換”中有一段話是這樣子寫的：

? ? ? ??假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是An=根號(hào)a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n≠1，且n<=N/2）對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào)，是直流分量，幅度即為A1/N。

? ? ? ??這里用本文的符號(hào)翻譯一下：對(duì)于x(n)的離散傅里葉變換X(k)來說，X(k)一般為復(fù)數(shù)，可設(shè)為X(k)=a(k)+ jb(k)，其模值|X(k)|和相角arg[X(k)]分別為

對(duì)于任意一項(xiàng)X(k)(0<k<N/2)，它所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)表達(dá)式為

其中。若k=0，即直流分量，其幅度為|X(k)|/N。

? ? ? ??有關(guān)模擬頻率f與離散頻率k的關(guān)系可參見數(shù)字信號(hào)處理類教科書，下面對(duì)時(shí)域信號(hào)幅度相角與離散頻域的幅值相角的關(guān)系結(jié)論進(jìn)證明。

? ? ? ??為了避免頻譜泄漏，取f、f_s和N均為正整數(shù)，且N=mf_s，m為正整數(shù)。

? ? ? ??對(duì)離散正弦信號(hào)x(n)進(jìn)行DFT變換：

上面推導(dǎo)過程中使用了歐拉公式和三角函數(shù)積化和差公式。令

則? 。

? ? ? ??當(dāng)mf+k≠0時(shí)，根據(jù)離散正弦信號(hào)的周期性判斷方法，我們知道X_Re1(k)和X_Im1(k)求和式中的正弦信號(hào)一定是以N為周期的，所以從0到N－1求和必為零；同理，當(dāng)mf－k≠0時(shí)，X_Re2(k)和X_Im2(k)求和式中的正弦信號(hào)一定是以N為周期的，所以從0到N－1求和也必為零。若要使mf+k項(xiàng)為零，則必有f=k=0，若要使mf－k項(xiàng)為零，則要滿足mf=k。

? ? ? ??下面以文檔《為什么要進(jìn)行傅里葉變換》中的例子為例來說明：

? ? ? ??S=2+3*cos(2*pi*50*t－pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數(shù)為弧度，所以－30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。

? ? ? ??我們?nèi)⌒盘?hào)S的50Hz成份。這里f_s=256Hz，N=256，f=50Hz，m=1，代入得

可以通過周期性討論得知，若k≠50，則必有X(k)=0（當(dāng)然k=256－50時(shí)與k=50對(duì)稱，前面我們說了只討論前N/2=128個(gè)點(diǎn)）。當(dāng)k=50時(shí)

因此可得時(shí)域幅值相角與頻域模擬相角的關(guān)系

這里模擬頻率f與離散頻率k的關(guān)系為

同理可以討論f=75Hz成份。對(duì)于直流成份，可以認(rèn)為是如下正弦信號(hào)

即f=0Hz，φ=0，代入得

可以通過周期性討論得知，若k≠0，則必有X(k)=0；當(dāng)k=0時(shí)

其實(shí)對(duì)于直流成分沒有必要這么復(fù)雜，直流成分就是一個(gè)常數(shù)，對(duì)常數(shù)序列A做DFT

若k≠0，求和項(xiàng)復(fù)正弦序列以N為周期，求和后必為零；若k=0，求和通項(xiàng)等于1，則

? ? ? ??推導(dǎo)了半天，可能有些糊涂，最后再把結(jié)論清晰的給出來，以便查閱：

? ? ???【結(jié)論1】若有離散正弦信號(hào)

對(duì)x(n)做N點(diǎn)FFT得X(k)，則在0<k<N/2范圍內(nèi)僅在k=f/(f_s/N)處有值，若設(shè)此值為X=a+jb，則此值與離散正弦信號(hào)有如下關(guān)系

其中

結(jié)論中，為保證k=f/(f_s/N)為整數(shù)（即不發(fā)生頻譜泄漏，要求f，f_s，N均為正整數(shù)，且N=mf_s，m為正整數(shù)，即N為整數(shù)倍的f_s）

? ? ? ??【結(jié)論2】若有直流信號(hào)x(n)=A，對(duì)x(n)做N點(diǎn)FFT得X(k)，則僅在k=0處有值，且此值X=AN，也可以寫為A=X/N。

?

附：三角函數(shù)積化和差公式

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的离散正(余)弦信号的时域与FFT变换后所得频域之间的关系（幅值和相角）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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