Cholesky 分解是把一個對稱正定的矩陣表示成一個下三角矩陣L和其轉置的乘積的分解。

它要求矩陣的所有特征值必須大于零，故分解的下三角的對角元也是大于零的。

Cholesky分解法又稱平方根法，是當A為實對稱正定矩陣時，LU三角分解法的變形。

通過直接比較A=L*L^T兩邊的對應元素來計算L，其中L^T為L的轉置。

思路如下：

L為一實下三角矩陣，求L的步驟如下：

1、Amn = Lm1*Ln1 + Lm2*Ln2 + ... + Lmx*Lnx其中x = min(m,n)

2、Umn = Amn - sum(Lmk*Lnk) 其中k ~ (0, min(m,n))，Umn包含Lmn*Lnn

3、當m < n時，由于是下三角矩陣，所以Umn為0，僅求m >= n的情況

4、如果 m == n 時 Lmn = sqrt(Umn)，否則，Lmn = Umn / Lnn

5、即求出Lmn的值

根據此思路的代碼實現如下：

public class MyCholeskyDecomposition {

/**

* 2.0000000000 0.0000000000 0.0000000000

* 0.5000000000 1.3228756555 0.0000000000

* 0.5000000000 2.0788046016 1.1952286093

* @param args

*/

public static void main(String[] args) {

double[][] A = {{4.,1.,1.},{1.,2.,3.},{1.,3.,6.}};

double[][] L = new double[3][3];

for(int m = 0; m < A.length; m++){

for(int n = 0; n <= m; n++){

L[m][n] = A[m][n];

for(int k = 0; k < n; k++){

L[m][n] -= L[m][k] * L[n][k];

}

if(m == n){

L[m][n] = Math.sqrt(L[m][n]);

}else{

L[m][n] = L[m][n] / L[n][n];

}

}

for(int x = m + 1; x < A.length; x++){

L[m][x] = 0.0;

}

}

for(int i = 0; i < L.length; i++){

for(int j = 0; j < L.length; j++){

System.out.print(L[i][j] + " ");

}

System.out.println();

}

}

}

參考：http://baike.baidu.com/link?url=umukeIkxLkBXVuB_UrcP5gIU2_rvzl2L4iXvTZuZQ9sQYswqMKPnOVcd8xJdIZbYSLpAbqDUIG29TymitgizHK

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總結

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