概述

? ? ? ?在3D圖形學(xué)中，幾何變換大致分為三種：平移變換(Translation)、縮放變換(Scaling)、旋轉(zhuǎn)變換(Rotation)，而其中又以旋轉(zhuǎn)變換(Rotation)最為復(fù)雜，通常旋轉(zhuǎn)變換(Rotation)是有三種常用方式：矩陣旋轉(zhuǎn)(Rotate Matrix)、歐拉角(Euler Angles)、四元數(shù)(Quaternion)，下面我們會(huì)對(duì)三種旋轉(zhuǎn)方法及其特點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行介紹。

矩陣旋轉(zhuǎn)

? ? ? ?矩陣是3D圖形學(xué)中的重點(diǎn)，通常的數(shù)學(xué)表達(dá)方式如下圖所示：

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? ? ? ?按上圖所示，矩陣可以看作是向量的數(shù)組，而向量又是標(biāo)量的數(shù)組，簡單來說矩陣就是對(duì)向量進(jìn)行坐標(biāo)變換。

? ? ? 矩陣可以有任意多行、任意多列，一行的矩陣即行向量，一列的矩陣即列向量，一個(gè)列數(shù)和行數(shù)相等的矩陣我們稱之為方陣，3D數(shù)學(xué)中矩陣幾乎以方陣形式出現(xiàn)。

歐拉角

? ? ? 什么是歐拉角，作為三維空間中的旋轉(zhuǎn)描述方式的一種，歐拉角采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的方法讓物體的旋轉(zhuǎn)可以始終按照自身當(dāng)前的坐標(biāo)系來作為基準(zhǔn)將連貫的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)有序的分割開來，使其更加有助于人們更直觀的理解。

? ? ? 在維基百科中對(duì)歐拉角的解釋中有個(gè)動(dòng)圖非常清晰的展示了歐拉角完成旋轉(zhuǎn)過程：

? ? ? 具體來說可理解為下圖所示：

? ? ? ?在圖片上可以看到分別有兩組坐標(biāo)：xyz代表的全局坐標(biāo)，XYZ代表的局部坐標(biāo)，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，全局坐標(biāo)始終保持不變，而局部坐標(biāo)隨著物體一起運(yùn)動(dòng)。

? ? ? ?我們把旋轉(zhuǎn)分解一下就會(huì)得到以下步驟：

• • 物體繞全局的z軸旋轉(zhuǎn)α角

  • 繞局部X軸(圖中的N軸)旋轉(zhuǎn)β角

  • 最后繞自己的Z軸旋轉(zhuǎn)γ角

歐拉角可分為兩種情況：

• 靜態(tài)：即繞世界坐標(biāo)系三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)，由于物體旋轉(zhuǎn)過程中坐標(biāo)軸保持靜止，所以稱為靜態(tài)。

• 動(dòng)態(tài)：即繞物體坐標(biāo)系三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)，由于物體旋轉(zhuǎn)過程中坐標(biāo)軸隨著物體做相同的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以稱為動(dòng)態(tài)。

四元數(shù)

????? ?四元數(shù)作為圖形學(xué)來解決旋轉(zhuǎn)問題其實(shí)是不如歐拉角表示方式來的直接，歐拉角只用3個(gè)數(shù)字(偏航/yaw，俯仰/pitch，橫滾/roll)即可表達(dá)，而四元數(shù)是需要四個(gè)數(shù)的，但是用歐拉角來處理旋轉(zhuǎn)是有致命或不可回避的問題：萬向鎖。于是我們就可以通過將歐拉角轉(zhuǎn)換成四元數(shù)來解決規(guī)避這個(gè)問題。

? ? ? 通俗的說，一個(gè)四元數(shù)(Quaternion)描述了一個(gè)喜歡轉(zhuǎn)軸和一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，當(dāng)用一個(gè)四元數(shù)乘以一個(gè)向量時(shí)，實(shí)際上就是讓該向量圍繞著這個(gè)四元數(shù)所描述的旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四元數(shù)所描述的角度而得到的向量，如圖：

? ? ? ?四元數(shù)只需要一個(gè)規(guī)格化的4維向量表示，所以其在插值計(jì)算尤其是線性插值算法中處理平滑插值時(shí)非常簡單易處理的，下圖展示了簡單的Bezier曲線例子：? ??

差異

? ? ? ?三種方法都有自己的優(yōu)缺點(diǎn)，下面我們舉個(gè)例子來說明一下，當(dāng)前做相同繞Y軸做角度30度的旋轉(zhuǎn)時(shí)，三種表示方式如下：

? ? ? ? 矩陣：

? ? ? ? 歐拉角：

? ? ? ? ? ? ? ?Heading?= 30

? ? ? ? ? ? ? ?Pitch = 0

? ? ? ? ? ? ? ?Bank?=?0

? ? ? ? ?四元數(shù)：

? ? ? ? ? ? ? [0.9659?(0， 0.2588?0)]

? ? ? 可以看出如果使用矩陣來表達(dá)就需要9個(gè)數(shù)做存儲(chǔ)，而且對(duì)應(yīng)的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。歐拉角中heading代表Y軸旋轉(zhuǎn)30度，Pitch、Bank不旋轉(zhuǎn)為0，這種表示方式最簡單直接，容易理解，只用3個(gè)數(shù)就能表達(dá)出來。而四元數(shù)，使用了4個(gè)數(shù)來表達(dá)，比矩陣簡單，相對(duì)歐拉角只是復(fù)雜了一些。

? ? ? ?三種方法各有各的優(yōu)缺點(diǎn)，下面的表格為我們展示了各自的問題

功能/性質(zhì)	矩陣	歐拉角	四元數(shù)
在坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)換	能	不能	不能
連續(xù)或增量旋轉(zhuǎn)	能，但是轉(zhuǎn)換速度慢	不能	能，轉(zhuǎn)換速度快
插值	基本不能	能，但可能遇到萬向鎖問題	能，且能平滑插值
易用程度	難	易	難
存儲(chǔ)	9個(gè)數(shù)	3個(gè)數(shù)	4個(gè)數(shù)
對(duì)給定方位表達(dá)方式是否唯一	是	不是，對(duì)同一方位有無數(shù)種表達(dá)	不是，對(duì)同一方位有兩種表達(dá)
可能導(dǎo)致非法	矩陣蠕變	任意三個(gè)數(shù)都能構(gòu)成合法的歐拉角	可能會(huì)出現(xiàn)誤差積累，從而產(chǎn)生非法的四元數(shù)

? ? ? ?基于以上的介紹我們可以看出，3D圖形學(xué)中的旋轉(zhuǎn)是一個(gè)最復(fù)雜的難題，每個(gè)方法都有自己的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，沒有一種方法是可以保證處理所有問題的，要根據(jù)實(shí)際情況來選擇不同的旋轉(zhuǎn)方法，同時(shí)又要根據(jù)不同的情況在三種轉(zhuǎn)換方法間做換算，不能只單一使用一種旋轉(zhuǎn)方式來處理。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三维坐标系带偏航角俯仰角_浅谈三维旋转的三种方法及差异的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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