集合是數學中最基本的概念，它已滲透到自然科學的各個領域，應用十分廣泛。在集合學習過程中，若能夠明確和運用常見的數學思想方法，就能夠更深刻地理解集合概念，更全面地滲透集合觀念，更靈活地解決集合問題。

一、集合的含義

一般地，我們把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)。

通常用大寫的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小寫的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素。

二、集合中元素的特性

1.確定性：

集合中的元素必須是確定的。即確定了一個集合，任何一個元素是不是這個集合的元素也就確定了。

2.互異性：

集合中的元素是互異的，即集合元素是沒有重復現象的(互不相同)。

3.無序性：

集合中的元素是不講順序的，即元素完全相同的兩個集合，不論元素順序如何，都表示同一個集合(不考慮順序)。

三、元素與集合的關系

1.a屬于集合A，表述為a是集合A的元素，記作a∈A。

2.a不屬于集合A，表述為a不是集合A的元素，記作a?A。

四、集合的表示

1.自然語言表示法：1~20以內的質數組成的集合。

2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，以逗號隔開，并用花括號“{}”括起來的表示集合的方法叫做列舉法。

3.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法。

4.Venn圖示法?：

如：“book中的字母”?構成一個集合

五、集合的基本運算

1.交集：集合中，設A，B是兩個集合，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的交集記作A∩B，讀作A交B。

2.并集：給定兩個集合A，B，把他們所有的元素合并在一起組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記作A∪B，讀作A并B。

3.相對補集：若A和B是集合，則A在B中的相對補集是這樣一個集合：其元素屬于B但不屬于A，B - A = { x| x∈B且x?A}。

4.絕對補集：若給定全集U，有A?U，則A在U中的相對補集稱為A的絕對補集(或簡稱補集)，寫作?UA。

5.子集：子回集是一個數學概念。如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集。符號語言：若?a∈A，均有a∈B，則A?B。

六、交集和并集知識點解析

1.理解交集的概念應關注四點

(1)概念中“且”即“同時”的意思，兩個集合交集中的元素必須同時是兩個集合的元素。

(2)概念中的“所有”兩字不能省，否則將會漏掉一些元素，一定要將相同元素全部找出。

(3)當集合A和集合B無公共元素時，不能說集合A，B沒有交集，而是A∩B＝?。

(4)定義中“x∈A，且x∈B”與“x∈(A∩B)”是等價的，即由既屬于A，又屬于B的元素組成的集合為A∩B，而只屬于集合A或只屬于集合B的元素，不屬于A∩B。

2.并集的運算技巧

(1)若集合中的元素個數有限，則直接根據并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性。

(2)若集合中的元素個數無限，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意是否去掉端點值。

3.交集的運算技巧

(1)求交集就是求兩集合的所有公共元素形成的集合。

(2)利用集合的并、交求參數的值時，要檢驗集合元素的互異性。

4.交集和并集的性質應用技巧

對于涉及集合運算的問題，可利用集合運算的等價性(即若A∪B＝A，則B?A，反之也成立；若A∩B＝B，則B?A，反之也成立)，轉化為相關集合之間的關系求解。

七、全集及補集

1.全集的定義及表示

(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。

(2)符號表示：全集通常記作U。

2.對全集概念的理解

“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據具體的問題來加以選擇的。

3.補集

(1)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算。求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念。

(2)?UA包含三層意思：①A?U；②?UA是一個集合，且?UA?U；③?UA是由U中所有不屬于A的元素構成的集合。

(3)若x∈U，則x∈A或x∈?UA，二者必居其一。

4.解決集合交、并、補運算的技巧

(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義來求解。在解答過程中常常借助于Venn圖來求解，這樣處理起來，相對來說比較直觀、形象且不易出錯。

(2)如果所給集合是無限集，則常借助數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后進行交、并、補集的運算，但在解答過程中要注意邊界問題。

5.利用補集求參數應注意兩點

(1)與集合的交、并、補運算有關的參數問題一般利用數軸求解，涉及集合間關系時不要忘掉空集的情形。

(2)不等式中的等號在補集中能否取到，要引起重視，還要注意補集是全集的子集。

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總結

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