概率论的一些基本问题
hit2015spring晨鳧追風
歡迎關注我的博客：http://blog.csdn.NET/hit2015spring
條件概率
設A和B是任意兩個事件，且P(B)>0，則稱P(AB)P(B)為事件A在事件B發生的條件下發生的條件概率。記作：
這里可以理解是，在事件 B發生的情況里面去尋找事件A也在的例子，就是條件概率，有一種歸一化的感覺，也有一種找出全局，再去挑局部的概念。
引入一個定理：
（兩個事件的積的概率）=（其中一個事件的概率）×(另一個事件在前面一個事件發生條件下的條件概率)即：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
推廣：
P(A1A2?An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)?P(An|A1A2A3?,An)
例子：
全概率公式
貝葉斯公式
P(Ai|B)=P(AiB)P(B)=P(B|Ai)P(Ai)P(B)=P(B|Ai)P(Ai)∑i=1nP(B|Ai)P(Ai)
其中用一個條件概率的公式
P(B|Ai)=P(AiB)P(Ai)
P(Ai)是先驗概率，一般是經驗的總結。P(Ai|B)是后驗概率，表示實驗之后各種原因發生的可能性
重復獨立實驗、二項概率公式
一個實驗里面有兩個結果，A和Aˉ,這個實驗稱為伯努利實驗。它的重復n次的獨立實驗就叫做：n重伯努利實驗。
設在每次實驗中成功的概率是p(0<p<1),則在n重伯努利實驗中，成功恰好發生k次的概率是
Pn(k)=Cknpk(1?p)n?k
例子：
當實驗次數很大的時候n→∞,p→0的時候，公式可變為np=λ，這時為二項泊松分布
Cknpk(1?p)n?k→λkk!e?λ
數學期望和方差
幾個結論
| 期望 | p | λ | 1p |
| 方差 | p(1?p) | λ | 1?pp2 |
切比雪夫不等式
P[|X?E(X)|≥ε]≤D(X)ε2
一個隨機變量偏移它中心的概率是與距離和它的方差有關的不等式
伯努利大數定律
在n重伯努利實驗中，成功的次數為Yn,而每次成功的概率為p(0<p<1),則對任意的ε>0有
limn→∞P(|Ynn?p|≥ε)=0
當實驗次數n足夠大的時候，成功的頻率與成功的概率之差的絕對值不小于任意一個指定的正數ε的概率可以小于任意一個預先指定的正數，這就是頻率穩定性的一種確切的解釋。根據伯努利大數定律在實際應用中，當實驗次數n很大時，可以用事件的頻率來近似得代替事件的概率。
辛欽大數定律
設隨機變量序列 X1,X2,?Xn是獨立同分布的隨機變量，具有有限的數學期望和方差E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2則對任意的ε>0有
limn→∞P(|1n∑i=1nXi?μ|≥ε)=0
1n∑i=1nXi 是隨機變量X的n個觀測值的算術平均值，而μ=E(X),當實驗次數足夠大的時候平均值與數學期望之差的絕對值不小于任一指定的正數ε的概率小于任意一個預先指定的正數，這就是算術平均值穩定性的解釋
中心極限定理
被研究的隨機變量是大量獨立隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小的作用，則可以認為這個隨機變量近似服從于正態分布。
Lindeberg-levi 中心極限定理
如果隨機變量序列X1,X2,?Xn,獨立同分布，并且具有有限的數學期望和方差E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2則對一切的x∈R
limn→∞P(1n√σ(∑i=1mXi?nμ)≥0)=∫x?∞12π??√e?t22dt
在n重伯努利實驗中，成功的次數為Yn而在每次實驗中成功的概率是p則對一切的x有
limn→∞P(Yn?npnpq???√≥x)=∫x?∞12π??√e?t22dt=Φ(x)
總結
以上是生活随笔為你收集整理的概率论的一些基本问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
