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上一節課，我們主要探討了當M的數值大小對機器學習的影響。如果M很大，那么就不能保證機器學習有很好的泛化能力，所以問題轉換為驗證M有限，即最好是按照多項式成長。然后通過引入了成長函數mH(N)mH(N)和dichotomy以及break point的概念，提出2D perceptrons的成長函數mH(N)mH(N)是多項式級別的猜想。這就是本節課將要深入探討和證明的內容。

一、Restriction of Break Point

我們先回顧一下上節課的內容，四種成長函數與break point的關系：

下面引入一個例子，如果k=2，那么當N取不同值的時候，計算其成長函數mH(N)mH(N)是多少。很明顯，當N=1時，mH(N)mH(N)=2,；當N=2時，由break point為2可知，任意兩點都不能被shattered（shatter的意思是對N個點，能夠分解為2N2N種dichotomies）；mH(N)mH(N)最大值只能是3；當N=3時，簡單繪圖分析可得其mH(N)=4mH(N)=4，即最多只有4種dichotomies。

所以，我們發現當N>k時，break point限制了mH(N)mH(N)值的大小，也就是說影響成長函數mH(N)mH(N)的因素主要有兩個：

• 抽樣數據集N

• break point k（這個變量確定了假設的類型）

那么，如果給定N和k，能夠證明其mH(N)mH(N)的最大值的上界是多項式的，則根據霍夫丁不等式，就能用mH(N)mH(N)代替M，得到機器學習是可行的。所以，證明mH(N)mH(N)的上界是poly(N)，是我們的目標。

二、Bounding Function: Basic Cases

現在，我們引入一個新的函數：bounding function，B(N,k)。Bound Function指的是當break point為k的時候，成長函數mH(N)mH(N)可能的最大值。也就是說B(N,k)是mH(N)mH(N)的上界，對應mH(N)mH(N)最多有多少種dichotomy。那么，我們新的目標就是證明：

B(N,k)≤poly(N)B(N,k)≤poly(N)

這里值得一提的是，B(N,k)的引入不考慮是1D postive intrervals問題還是2D perceptrons問題，而只關心成長函數的上界是多少，從而簡化了問題的復雜度。

求解B(N,k)的過程十分巧妙：

• 當k=1時，B(N,1)恒為1。

• 當N < k時，根據break point的定義，很容易得到B(N,k)=2NB(N,k)=2N。

• 當N = k時，此時N是第一次出現不能被shatter的值，所以最多只能有2N?12N?1個dichotomies，則B(N,k)=2N?1B(N,k)=2N?1。

到此，bounding function的表格已經填了一半了，對于最常見的N>k的情況比較復雜，推導過程下一小節再詳細介紹。

三、Bounding Function: Inductive Cases

N > k的情況較為復雜，下面給出推導過程：

以B(4,3)為例，首先想著能否構建B(4,3)與B(3,x)之間的關系。

首先，把B(4,3)所有情況寫下來，共有11組。也就是說再加一種dichotomy，任意三點都能被shattered，11是極限。

對這11種dichotomy分組，目前分成兩組，分別是orange和purple，orange的特點是，x1,x2和x3是一致的，x4不同并成對，例如1和5，2和8等，purple則是單一的，x1,x2,x3都不同，如6,7,9三組。

將Orange去掉x4后去重得到4個不同的vector并成為αα，相應的purple為ββ。那么B(4,3)=2α+βB(4,3)=2α+β，這個是直接轉化。緊接著，由定義，B(4,3)是不能允許任意三點shatter的，所以由αα和ββ構成的所有三點組合也不能shatter（alpha經過去重），即α+β≤B(3,3)α+β≤B(3,3)。

另一方面，由于αα中x4是成對存在的，且αα是不能被任意三點shatter的，則能推導出αα是不能被任意兩點shatter的。這是因為，如果αα是不能被任意兩點shatter，而x4又是成對存在的，那么x1、x2、x3、x4組成的αα必然能被三個點shatter。這就違背了條件的設定。這個地方的推導非常巧妙，也解釋了為什么會這樣分組。此處得到的結論是α≤B(3,2)α≤B(3,2)

由此得出B(4,3)與B(3,x)的關系為：

最后，推導出一般公式為：

根據推導公式，下表給出B(N,K)值

根據遞推公式，推導出B(N,K)滿足下列不等式：

上述不等式的右邊是最高階為k-1的N多項式，也就是說成長函數mH(N)mH(N)的上界B(N,K)的上界滿足多項式分布poly(N)，這就是我們想要得到的結果。

得到了mH(N)mH(N)的上界B(N,K)的上界滿足多項式分布poly(N)后，我們回過頭來看看之前介紹的幾種類型它們的mH(N)mH(N)與break point的關系：

我們得到的結論是，對于2D perceptrons，break point為k=4，mH(N)mH(N)的上界是Nk?1Nk?1。推廣一下，也就是說，如果能找到一個模型的break point，且是有限大的，那么就能推斷出其成長函數mH(N)mH(N)有界。

四、A Pictorial Proof

我們已經知道了成長函數的上界是poly(N)的，下一步，如果能將mH(N)mH(N)代替M，代入到Hoffding不等式中，就能得到Eout≈EinEout≈Ein的結論：

實際上并不是簡單的替換就可以了，正確的表達式為：

該推導的證明比較復雜，我們可以簡單概括為三個步驟來證明：

這部分內容，我也只能聽個大概內容，對具體的證明過程有興趣的童鞋可以自行研究一下，研究的結果記得告訴一下我哦。

最終，我們通過引入成長函數mHmH，得到了一個新的不等式，稱為Vapnik-Chervonenkis(VC) bound：

對于2D perceptrons，它的break point是4，那么成長函數mH(N)=O(N3)mH(N)=O(N3)。所以，我們可以說2D perceptrons是可以進行機器學習的，只要找到hypothesis能讓Ein≈0Ein≈0，就能保證Ein≈EoutEin≈Eout。

五、總結

本節課我們主要介紹了只要存在break point，那么其成長函數mH(N)mH(N)就滿足poly(N)。推導過程是先引入mH(N)mH(N)的上界B(N,k)，B(N,k)的上界是N的k-1階多項式，從而得到mH(N)mH(N)的上界就是N的k-1階多項式。然后，我們通過簡單的三步證明，將mH(N)mH(N)代入了Hoffding不等式中，推導出了Vapnik-Chervonenkis(VC) bound，最終證明了只要break point存在，那么機器學習就是可行的。

注明：

文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记6 -- Theory of Generalization的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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