1.信號分解及完備性

設是X由一組向量所張成，即：

如果線性獨立，我們則稱它們為空間中的一組基”。
那么信號x可以離散表示如下：

若是一組兩兩互相正交的向量，展式稱為x的正交展開。分解系數是在各個基向量上的投影。
設向量和向量滿足如下雙正交關系：

那么，我們對原始信號就行投影變換（內積）：
看看，我們把最關心的分解系數給弄出來了！現在的問題是與原始基雙正交的向量怎么求？

1.1 信號分解、對偶基（倒數基）、正交基

關于信號的分解表示，我們可以從連續時間和離散時間分開分析： 對于連續時間信號：
對于離散時間信號：
以上兩式稱為信號的變換。“變換”的結果即是求出一組系數。?
稱為的“對偶基”，或“倒數基”。
雙正交關系指的是兩組基之間各對應向量之間具有正交性，但每一組向量之間并不一定具有正交關系。
N 維空間中的正交基：
如果一組基向量的對偶向量即是其自身，也那么這一組基向量構成了N 維空間中的正交基。

1.2 完備性/標架

若X空間中的任一元素x都可由一組向量作式 :
的分解，那么我們稱這一組向量是“完備（complete）”的。 如果是完備的，且是線性相關的，那么，由表示x必然會存在信息的冗余，并且其對偶向量將 不會是唯一的。這時，我們稱構成空間的一個“標架（frame）”。

若是完備的，且是線性無關的，則是X中的一組基向量，這時，存在且唯一，即存在
的雙正交關系。則對偶及存在，且是唯一的。
對于正交關系，那么他的對偶基就是自己本身。

1.3 詳細證明

將對偶基向量，用基向量表示：
將基向量與對偶基進行內積計算：

令： ? ??
這樣，我們可以得到如下公式：

這樣我們就可以通過基向量，求得他的對偶基向量。

2.思考

2.1為什么信號分解系數線性相關情況下，對偶基不唯一？

基向量現象相關，導致B矩陣是奇異矩陣，那么得到的“對偶基向量”必定不唯一。

2.2為什么信號分解系數雙正交情況下，對偶基唯一？

單位陣I，那么此時的B是固定的唯一的，就是基向量的逆。

2.3為什么信號分解系數正交情況下，對偶基就是本身？

正交情況下，矩陣的逆就是矩陣的轉置，那么就是自己本身，如此簡單的運算，也正是正交變換在硬件領域很受歡迎的原因。因為對矩陣求轉置的復雜度要遠遠低于逆運算。

2.4分解系數可以通過對偶基向量和原始信號的內積求得，這有什么物理意義？

通過上面公式，我們可以通過物理角度進行思考。所謂的投影運算也可以看成是相似性衡量問題。如果對偶基向量與原始信號越相似，分解系數應該越大！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的信号分解：双正交、完备性、对偶向量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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