這是《小波變換和motion信號處理》系列的第二篇，深入小波。第一篇我進行了基礎(chǔ)知識的鋪墊，第三篇主要講解應用。

在上一篇中講到，每個小波變換都會有一個mother?wavelet，我們稱之為母小波，同時還有一個father?wavelet，就是scaling?function。而該小波的basis函數(shù)其實就是對這個母小波和父小波縮放和平移形成的。縮放倍數(shù)都是2的級數(shù)，平移的大小和當前其縮放的程度有關(guān)。

還講到，小波系統(tǒng)有很多種，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展開的近似形式是這樣：

其中的就是小波級數(shù)，這些級數(shù)的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級數(shù)有一點不同的是，小波級數(shù)通常是orthonormal?basis，也就是說，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。

我們還講了一般小波變換的三個特點，就是小波級數(shù)是二維的，能定位時域和頻域，計算很快。但我們并沒有深入講解，比如，如何理解這個二維？它是如何同時定位頻域和時域的？

在這一篇文章里，我們就來討論一下這些特性背后的原理。

首先，我們一直都在講小波展開的近似形式。那什么是完整形式呢？之前講到，小波basis的形成，是基于基本的小波函數(shù)，也就是母小波來做縮放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在構(gòu)建小波基函數(shù)集合的時候，通常還要用到一個函數(shù)叫尺度函數(shù)，scaling?function，人們通常都稱其為父小波。它和母小波一樣，也是歸一化了，而且它還需要滿足一個性質(zhì)，就是它和對自己本身周期平移的函數(shù)兩兩正交：

另外，為了方便處理，父小波和母小波也需要是正交的。可以說，完整的小波展開就是由母小波和父小波共同定義的。

其中是母小波，是父小波。需要提醒一點的是，這個正交純粹是為了小波分析的方便而引入的特性，并不是說小波變換的基就一定必須是正交的。但大部分小波變換的基確實是正交的，所以本文就直接默認正交為小波變換的主要性質(zhì)之一了。引入這個父小波呢，主要是為了方便做多解析度分析（multiresolution?analysis,?MRA）。說到這里，你的問題可能會井噴了：好好的為什么出來一個父小波呢？這個scaling?function是拿來干嘛的？它背后的物理意義是什么？wavelet?function背后的物理意義又是什么？這個多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我們圍繞一個例子來鞏固一下前面的知識，同時再引出新的特性。

假設(shè)我們有這樣一個信號：

該信號長度為8，是離散的一維信號。我們要考慮的，就是如何用小波將其展開。為了方便講解，我們考慮最簡單的一種小波，哈爾小波。下面是它的一種母小波：

那如何構(gòu)建基于這個母小波的基呢？剛才提到了，要縮放，要平移。我們先試試縮放，那就是ψ(2n)：

但這樣的話，它與自己的內(nèi)積就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我們要在前面加一個系數(shù)根號二，這樣我們就得到了另一個哈爾小波的basis?function：

同理，我們可以一直這樣推廣下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis?function。當然在這個例子里，我們信號長度就是8，所以做到4n就夠了。但推廣來說，就是這種scaling對母小波的作用為，這是歸一化后的表示形式。

平移的話也很簡單，我們可以對母小波進行平移，也可以對scale之后的basis?function進行平移。比如對上一幅圖中的basis?function進行平移，就成了

看得出來，平移后的basis?function和母小波以及僅僅scale過的小波，都是正交的，附合小波basis的特點。如果我們用ψ(n)來表示這個mother?wavelet，那么這些orthonormal?basis函數(shù)可以寫成：

這里的k是可以看成時域的參數(shù)，因為它控制著小波基時域的轉(zhuǎn)移，而j是頻域的參數(shù)，因為它決定了小波基的頻率特性。看到這里，你應該會感覺很熟悉，因為這里的平移和變換本質(zhì)和剛才對scaling?function的平移變換是一模一樣的。

這樣，我們就有了針對此信號space的哈爾小波basis組合：

圖1

可以看出，我們用到了三層頻率尺度的小波函數(shù)，每往下一層，小波的數(shù)量都是上面一層的兩倍。在圖中，每一個小波基函數(shù)的表達形式都寫在了波形的下面。

等等，你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，有問題。這里為什么多了個沒有函數(shù)表達式的波形呢？這貨明顯不是wavelet?function阿。沒錯，它是之前提到的scaling?function，也就是父小波。然后你可能就會問，為啥這個憑空插了一個scaling?function出來呢？明明目標信號已經(jīng)可以用純的小波基組合表示了。是，確實是，就算不包括scaling?function，這些小波函數(shù)本身也組成了正交歸一基，但如果僅限于此的話，小波變換也就沒那么神奇的功效了。引入這個scaling?function，才能引入我們提到的多解析度分析的理論，而小波變換的強大，就體現(xiàn)在這個多解析度上。那在這里，我們怎么用這個多解析度呢？這個哈爾小波basis組合是怎么通過多解析度推導出來的呢？

話說在數(shù)學定義中，有一種空間叫Lebesgue空間，對于信號處理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可積函數(shù)所組成的函數(shù)空間。我們在小波變換中要研究的信號都是屬于L^2(R)空間的，這個空間是R上的所有處處平方可積的可測函數(shù)的集合，這樣就等于對信號提出了一個限制，就是信號能量必須是有限的，否則它就不可積了。小波變換的定義都是基于但不限于L^2(R)中的信號的。這玩意的特性要具體解釋起來太數(shù)學了，牽涉到太多泛函知識，我就不在這里詳述了。而且老實說我也沒能力完全講清楚，畢竟不是學這個的，有興趣可以參考wiki。總之你記住，小波變換研究中所使用的信號基本都是平方可積的信號，但其應用不限于這種信號，就行了。

對L^2(R)空間做MRA是在干嘛呢？就是說，在L^2(R)空間中，我們可以找出一個嵌套的空間序列，并有下列性質(zhì)：

(i)?

(ii)?

(iii)?

(iv)?

(v)?有這樣一個方程,??是的orthonormal?basis。

我來簡單解釋一下這些性質(zhì)。這個V_j都是L^2(R)空間中的子空間，然后他們是由小到大的，交集是{0}，因為這是最小的子空間，并集就是L空間。是不是有點難以理解？沒關(guān)系，看看下面這個圖就清楚了：

這個圖是圈圈套圈圈，最里面的圈是V0，之后分別是V1，V2，V3，V4?。那他們有趣的性質(zhì)就是，假如有一個函數(shù)f(t)他屬于一個某空間，那你將其在時域上平移，它還是屬于這個空間。但如果你對它頻域的放大或縮小，它就會相應移到下一個或者上一個空間了。

同時我們還知道，你要形容每一個空間的話，都需要有對應的orthonormal?basis，這是必然的，那對于V0來講，它的orthonormal?basis就是

這一系列函數(shù)是什么呢？是的時域變換，而且我們剛才也說了，時域上平移，是不會跳出這個空間的。這樣，我們就可以說，由這一系列basis所定義的L^2(R)子空間V0被這些basis所span，表示成：

k從負無窮到正無窮。上面的bar表示這是一個閉包空間，也就是說

這樣，我們就定義了基本的V0這個子空間。剛才說了，這個子空間的基都是對的整數(shù)時域變換，這里我們稱為scaling?function，所以換個說法，就是說這里整個子空間V0，由scaling?function和其時域變換的兄弟們span。

當然，如果這個scaling?function只是用來代表一個子空間的，那它的地位也就不會這么重要了。剛才我們提到，這個嵌套空間序列有一個性質(zhì)，。這就是這個函數(shù)，如果你對它頻域的放大或縮小，它就會相應移到下一個或者上一個空間了。這個性質(zhì)就有意思了，它代表什么呢？對于任何一個包含V0的更上一層的空間來講，他們的基都可以通過對scaling?function做頻域的scale后再做時域上的整數(shù)變換得到！推廣開來就是說，當

我們有

這也就意味著，對于任何屬于V_j空間的函數(shù)f(t)，都可以表示為：

到這里，我們就明白這些個子空間和那個憑空冒出來的scaling?function的作用了。scaling的構(gòu)建這些不同的子空間的基礎(chǔ)，當j越大的時候，每一次你對頻率變換后的scaling?function所做的時域上的整數(shù)平移幅度會越小，這樣在這個j子空間里面得到的f(t)表示粒度會很細，細節(jié)展現(xiàn)很多。反之亦然。通俗點說，就是對scaling?function的變換平移給你不同的子空間，而不同的子空間給你不同的分辨率，這樣你就可以用不同的分辨率去看目標信號。

下面就是時候看看什么是MRA?equation了，這是更加有趣，也是更加核心的地方。通過剛才的講解，V0屬于V1，那scaling?function是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫成V1的基的線性組合，那就是

其中的h(n)是scaling?function的系數(shù)，也叫做scaling?filter或者scaling?vector，可以是實數(shù)，也可以是虛數(shù)。根號2是為了維持norm為1的。看，在這個公式里，我們就把屬于V0的函數(shù)用V1的基表示出來了。同理，我們可以循環(huán)如此，把屬于V0的在V2,?V3,?…,?Vn中表示出來。這些方程就是MRA?equation，也叫refinement?equation，它是scaling?function理論的基礎(chǔ)，也是小波分析的基礎(chǔ)之一。

好，稍微總結(jié)一下。到現(xiàn)在，已經(jīng)講了關(guān)于scaling?function的基本理論知識，知道了信號空間可以分為不同精細度的子空間，這些子空間的basis集合就是scaling?function或者頻率變換之后的scaling?function，如下圖所示：

上圖就是四個子空間的basis集合的展覽。通過前面的討論，我們還知道，一開始的scaling?function可以通過更精細的子空間的scaling?function（它們都是對應子空間的basis）來構(gòu)建。比如

對于更加finer的scale：

圖2
依此類推。實際上，對于任何scale和translate過的scaling?function，都可以用更加精細的scale層面上的scaling?function構(gòu)建出來。

然后，我們有各種scale下的scaling?function了，該看看它們分別所對應的嵌套的空間序列了。先看看V0，自然就是以基本的scaling?function為基礎(chǔ)去span出來的：

這個不新鮮，剛才就講過了。這個子空間代表什么樣的信號？常量信號。道理很簡單，這個scaling?function在整個信號長度上，沒有任何變化。繼續(xù)往下看：

這個相比V0更加finer的子空間，代表著這樣一種信號，它從1-4是常量，從5-8是另一個常量。同理我們有：

V2代表的信號，是分別在1，2;?3，4;?5，6;?7，8上有相同值的信號。那么V3呢？則表示任何信號，因為對于V3來講，任何一個時間刻度上的值都可以不一樣。而且現(xiàn)在，我們也可以通過上面的一些scaling?functions的波形驗證了之前提到的多解析度分析中的一個核心性質(zhì)，那就是：

我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現(xiàn)在，通過這些圖形化的分析，我們可能才會真正理解它。那好，既然我們有一個現(xiàn)成的信號，那就來看看，對這個信號作多解析度分析是啥樣子的：

你看，在不同的子空間，對于同一個信號就有不同的詮釋。詮釋最好的當然是V3，完全不損失細節(jié)。這就是多解析度的意義。我們可以有嵌套的，由scaling?function演變的basis?function集合，每一個集合都提供對原始信號的某種近似，解析度越高，近似越精確。

說到這里，可能你對scaling?function以及多解析度分析已經(jīng)比較理解了。但是，我們還沒有涉及到它們在小波變換中的具體應用，也就是還沒有回答剛才那個問題：憑空插了一個scaling?function到小波basis組合中干嘛。也就是說，我們希望理解scaling?function是怎么和小波函數(shù)結(jié)合的呢，多解析度能給小波變換帶來什么樣的好處呢。這其實就是是小波變換中的核心知識。理解了這個，后面的小波變換就是純數(shù)學計算了。

好，我們已經(jīng)知道，對于子空間V0，basis是scaling?function：

對應的小波函數(shù)是：

然后子空間V1的basis集合是這倆哥們：

看出什么規(guī)律了么？多看幾次這三個圖，你會驚訝地發(fā)現(xiàn)，在V0中的scaling?function和wavelet?function的組合，其實就是V1中的basis！繼續(xù)這樣推導，V1本來的的basis是：

然后V1中對應的wavelet?function是

他們的組合，本質(zhì)上也就是V2的basis（參考圖2）。你繼續(xù)推導下去，會得到同樣的結(jié)論：在scale?j的wavelet?function，可以被用來將Vj的basis擴展到V(j+1)中去！這是一個非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因為這代表著，對任何一個子空間Vj，我們現(xiàn)在有兩種方法去得到它的orthonormal?basis：

1.?一種就是它本來的basis?，對任意k。

2.?第二種就是它上一個子空間的basis，對任意k，以及上一級子空間的wavelet?function?，對任意k。

第二種選擇能給我們帶來額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級子空間的scaling?function以及wavelet?function的組合來作為當前子空間的基。換句話說，如果針對V3這個子空間，它實際上就有四種不同的，但是等價的orthonormal?basis：

1.?本級(V3)的scaling?function?basis?set

2.?上一級(V2)的scaling?function?+?wavelet?function;

3?.?上上一級(V1)的scaling?function?+?上上一級(V1)的wavelet?function?+?上一級(V2)的wavelet?function;

4.?上上上一級(V0)的scaling?function?+?上上上一級(V0)的wavelet?function?+?上上一級(V1)的wavelet?function?+?上一級(V2)的wavelet?function

好，看看最后一種選取方式，有沒有感到眼熟？對了，它就是我們之前提到的“針對此信號space的哈爾小波basis組合”，參見圖1。現(xiàn)在我們知道了，這個scaling?function不是憑空插進去的，而是通過不斷的嵌套迭代出來的：）

那為什么我們最后選定的是這種選取方式呢？實際上，剛才介紹的這個性質(zhì)已經(jīng)告訴我們，對于任何的scale?j0，我們都可以給我們的signal?space找到一組orthonormal?basis，這個basis是通過組合scale?j0上的scaling?function以及所有在scale?j，j>=j0上的wavelets得到的。這樣，基于這個orthonormal?basis，所有信號空間中的信號都可以寫成組成這個basis的functions的線性組合：

對應的系數(shù)的計算和平常一樣：

這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是信號壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個基礎(chǔ)流程：

1.?選取合適的wavelet?function和scaling?function，從已有的信號中，反算出系數(shù)c和d。

2.?對系數(shù)做對應處理

3.?從處理后的系數(shù)中重新構(gòu)建信號。

這里的系數(shù)處理是區(qū)別你的應用的重點。比如圖像或者視頻壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數(shù)中的小波，然后拋棄那些能量很小的小波系數(shù)，只保留少數(shù)的這些大頭系數(shù)，再反變換回去。這樣的話，圖像信號的能量并沒有怎么丟失，圖像體積卻大大減小了。

還有一個沒有解釋的問題是，為什么要強調(diào)尺度函數(shù)和小波函數(shù)組成一個orthonormal?basis呢？計算方便是一方面，還有一個原因是，如果他們滿足這個性質(zhì)，就滿足瑞利能量定理，也就是說，信號的能量，可以完全用每個頻域里面的展開部分的能量，也就是他們的展開系數(shù)表示：

到這里，我們對小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡單的哈爾小波為例子，但舉一反三即可。我們著重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來的殺手锏：時域頻域同時定位。結(jié)束之前，再多說幾句小波變換的意義。我們拿剛才例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal?basis作為例子：

左邊這四個basis組成元素，也就是scaling?functions，的系數(shù)，表征的是信號的local平均（想想它們和信號的內(nèi)積形式），而右邊的這四個basis組成元素，也就是wavelet?functions，的系數(shù)則表征了在local平均中丟失的信號細節(jié)。得益于此，多解析度分析能夠?qū)π盘栐谠絹碓綄挼膮^(qū)域上取平均，等同于做低通濾波，而且，它還能保留因為平均而損失的信號細節(jié)，等同于做高通濾波！這樣，我們終于可以解釋了wavelet?function和scaling?function背后的物理意義了：wavelet?function等同于對信號做高通濾波保留變化細節(jié)，而scaling?function等同于對信號做低通濾波保留平滑的shape！

對小波變換的基礎(chǔ)知識，我們就講到這里。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識，但也是最核心的知識。掌握了這些，代表你對小波變換的物理意義有了一定的了解。但對于小波變換本身的講解，一本書都不一定能將講透，還有很多的基礎(chǔ)知識我都沒有講，比如如何構(gòu)建自己的scaling?function，選取合適的系數(shù)集h[k]，并由此構(gòu)建自己的wavelet?functions。所以，如果有深入下去研究的同學，好好買一本書來看吧。而只是希望用小波變換來服務自己的應用的同學，個人覺得這些知識已經(jīng)足夠讓你用來起步了。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/retrieval/archive/2013/04/10/3013098.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的小波变换和motion信号处理（二）【转载】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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