解題方法提示

小Hi：本周的題目其實(shí)就是給定一個(gè)字符串S，要求出S的所有不同子串的數(shù)目。小Ho你知道如何快速求解么？

小Ho：我們最近在討論后綴自動(dòng)機(jī)，所以肯定是和后綴自動(dòng)機(jī)有關(guān)！根據(jù)上周學(xué)習(xí)的SAM的基本概念和性質(zhì)，SAM的每個(gè)狀態(tài)st都包含了一部分S的子串，記作substrings(st)，并且(1)對(duì)于兩個(gè)不同狀態(tài)u和v，包含的子串substrings(u) ∩ substrings(v) = ?; (2)每個(gè)子串都恰好被一個(gè)狀態(tài)包含。所以我們只要構(gòu)造出來(lái)S對(duì)應(yīng)的SAM，再對(duì)所有狀態(tài)st求Σ(maxlen(st)-minlen(st))就是子串的數(shù)目。

小Hi：沒(méi)錯(cuò)。上周我們提到SAM有O(length(S))的構(gòu)造法。這周我們就來(lái)講一講如何構(gòu)造。

小Hi：首先，為了實(shí)現(xiàn)O(length(S))的構(gòu)造，我們對(duì)于每個(gè)狀態(tài)不能保存太多數(shù)據(jù)。例如substring(st)肯定是沒(méi)法保存下來(lái)了。對(duì)于狀態(tài)st我們只保存如下數(shù)據(jù)：

小Hi：其次，我們用增量法構(gòu)造S對(duì)應(yīng)的SAM。我們從初始狀態(tài)開(kāi)始，每次添加一個(gè)字符S[1], S[2], ... S[N]，依次構(gòu)造可以識(shí)別S[1], S[1..2], S[1..3], ... S[1..N]=S的SAM。

小Hi：假設(shè)我們已經(jīng)構(gòu)造好了S[1..i]的SAM。這時(shí)我們要添加字符S[i+1]，于是我們新增了i+1個(gè)S[i+1]的后綴要識(shí)別：S[1..i+1], S[2..i+1], ... S[i..i+1], S[i+1]。 考慮到這些新增狀態(tài)分別是從S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)通過(guò)字符S[i+1]轉(zhuǎn)移過(guò)來(lái)的，所以我們還要對(duì)S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)們?cè)黾酉鄳?yīng)的轉(zhuǎn)移。

小Hi：我們假設(shè)S[1..i]對(duì)應(yīng)的狀態(tài)是u，等價(jià)于S[1..i]∈ substrings(u)。根據(jù)上周的討論我們知道S[1..i], S[2..i], S[3..i], ... , S[i], ""(空串)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)們恰好就是從u到初始狀態(tài)S的由Suffix Link連接起來(lái)路徑上的所有狀態(tài)，不妨稱這條路徑(上所有狀態(tài)集合)是suffix-path(u->S)。

小Hi：顯然至少S[1..i+1]這個(gè)子串不能被以前的SAM識(shí)別，所以我們至少需要添加一個(gè)狀態(tài)z，z至少包含S[1..i+1]這個(gè)子串。

小Hi：首先考慮一種最簡(jiǎn)單的情況：對(duì)于suffix-path(u->S)的任意狀態(tài)v，都有trans[v][S[i+1]]=NULL。這時(shí)我們只要令trans[v][S[i+1]]=z，并且令slink[st]=S即可。

小Hi：例如我們已經(jīng)得到"aa"的SAM，現(xiàn)在希望構(gòu)造"aab"的SAM。如下圖所示：

小Hi：此時(shí)u=2，z=3，suffix-path(u->S)是桔色狀態(tài)組成的路徑2-1-S。并且這3個(gè)狀態(tài)都沒(méi)有對(duì)應(yīng)字符b的轉(zhuǎn)移。所以我們只要添加紅色轉(zhuǎn)移trans[2][b]=trans[1][b]=trans[S][b]=z即可。當(dāng)然也不要忘了slink[3]=S。

小Ho：那要是suffix-path(u->S)上有一個(gè)節(jié)點(diǎn)v，使得trans[v][S[i+1]]!=NULL怎么辦？

小Hi：好問(wèn)題。我們以下圖為例，假設(shè)我們已經(jīng)構(gòu)造"aabb"的SAM如圖，現(xiàn)在我們要增加一個(gè)字符a構(gòu)造"aabba"的SAM。

小Hi：這時(shí)u=4，z=6，suffix-path(u->S)是桔色狀態(tài)組成的路徑4-5-S。對(duì)于狀態(tài)4和狀態(tài)5，由于它們都沒(méi)有對(duì)應(yīng)字符a的轉(zhuǎn)移，所以我們只要添加紅色轉(zhuǎn)移trans[4][a]=trans[5][a]=z=6即可。面對(duì)S時(shí)我們遇到了小Ho你提出的問(wèn)題，trans[S][a]=1已經(jīng)存在，怎么辦？

小Ho：怎么辦呢？

小Hi：不失一般性，我們可以認(rèn)為在suffix-path(u->S)遇到的第一個(gè)狀態(tài)v滿足trans[v][S[i+1]]=x。這時(shí)我們需要討論x包含的子串的情況。如果x中包含的最長(zhǎng)子串就是v中包含的最長(zhǎng)子串接上字符S[i+1]，等價(jià)于maxlen(v)+1=maxlen(x)，比如在上面的例子里，v=S, x=1，longest(v)是空串，longest(1)="a"就是longest(v)+'a'。這種情況比較簡(jiǎn)單，我們只要增加slink[z]=x即可。

小Hi：如果x中包含的最長(zhǎng)子串 不是 v中包含的最長(zhǎng)子串接上字符S[i+1]，等價(jià)于maxlen(v)+1 < maxlen(x)，這種情況最為復(fù)雜，不失一般性，我們用下圖表示這種情況，這時(shí)增加的字符是c，狀態(tài)是z。

小Hi：在suffix-path(u->S)這條路徑上，從u開(kāi)始有一部分連續(xù)的狀態(tài)滿足trans[u..][c]=NULL，對(duì)于這部分狀態(tài)我們只需增加trans[u..][c]=z。緊接著有一部分連續(xù)的狀態(tài)v..w滿足trans[v..w][c]=x，并且longest(v)+c不等于longest(x)。這時(shí)我們需要從x拆分出新的狀態(tài)y，并且把原來(lái)x中長(zhǎng)度小于等于longest(v)+c的子串分給y，其余字串留給x。同時(shí)令trans[v..w][c]=y，slink[y]=slink[x], slink[x]=slink[z]=y。

小Ho：好像比較復(fù)雜。

小Hi：我們來(lái)舉個(gè)例子。假設(shè)我們已經(jīng)構(gòu)造"aab"的SAM如圖，現(xiàn)在我們要增加一個(gè)字符b構(gòu)造"aabb"的SAM。

小Hi：當(dāng)我們處理在suffix-path(u->S)上的狀態(tài)S時(shí)，遇到trans[S][b]=3。并且longest(3)="aab"，longest(S)+'b'="b"，兩者不相等。其實(shí)不相等意味增加了新字符后endpos("aab")已經(jīng)不等于endpos("b")，勢(shì)必這兩個(gè)子串不能同屬一個(gè)狀態(tài)3。這時(shí)我們就要從3中新拆分出一個(gè)狀態(tài)5，把"b"及其后綴分給5，其余的子串留給3。同時(shí)令trans[S][c]=5, slink[5]=slink[3]=S, slink[3]=slink[6]=5。

小Hi：整個(gè)過(guò)程的代碼如下，其中狀態(tài)0代表初始狀態(tài)S；狀態(tài)u, v, x, y, z的意義如上文所述；-1代表slink或者trans不存在。

小Ho：咦？程序倒是意外的簡(jiǎn)單。

?