一、數(shù)學(xué)模型的分類

1. 按模型的數(shù)學(xué)方法分：

幾何模型、圖論模型、微分方程模型、概率模型、最優(yōu)控制模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型等。

2. 按模型的特征分：

靜態(tài)模型和動態(tài)模型，確定性模型和隨機(jī)模型，離散模型和連續(xù)性模型，線性模型和非線性模型等。

3. 按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分：

人口模型、交通模型、經(jīng)濟(jì)模型、生態(tài)模型、資源模型、環(huán)境模型等。

4. 按建模的目的分：?

預(yù)測模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。一般研究數(shù)學(xué)建模論文的時候，是按照建模的目的去分類的，并且是算法往往也和建模的目的對應(yīng)。

5. 按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分：?

有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。比賽盡量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主觀性模型。

6. 按比賽命題方向分：

國賽一般是離散模型和連續(xù)模型各一個，2016 美賽六個題目（離散、連續(xù)、運(yùn)籌學(xué)/復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、大數(shù)據(jù)、環(huán)境科學(xué)、政策）

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二、數(shù)學(xué)建模十大算法

1、蒙特卡羅算法

該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計算機(jī)仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗(yàn)自己模型的正確性，比較好用的算法。

2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法

比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用 Matlab 作為工具。

3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題

建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用 Lindo、Lingo 軟件實(shí)現(xiàn)

4、圖論算法

這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決。

5、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機(jī)算法

這些算法是算法設(shè)計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。

6 、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法

這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，算法的實(shí)現(xiàn)有一定困難。

7 、網(wǎng)格算法和窮舉法

當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。

8 、一些連續(xù)離散化方法

很多問題都是從實(shí)際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而經(jīng)典計算機(jī)架構(gòu)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。

9 、數(shù)值分析算法

如果在比賽中采用高級語言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法。比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進(jìn)行調(diào)用

10 、圖象處理算法

賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的。這些圖形如何展示，以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用 Matlab 進(jìn)行處理

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三、算法簡介

1 、灰色預(yù)測模型 （ 一般 ）

解決預(yù)測類型題目。由于屬于灰箱模型，一般比賽期間不優(yōu)先使用。滿足兩個條件可用：
①數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)個數(shù) 6 個以上
②數(shù)據(jù)呈現(xiàn)指數(shù)或曲線的形式，數(shù)據(jù)波動不大

2 、微分方程模型 （ 一般 ）

微分方程模型是方程類模型中最常見的一種算法。近幾年比賽都有體現(xiàn)，但其中的要求，不言而喻，學(xué)習(xí)過程中無法直接找到原始數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，但可以找到原始數(shù)據(jù)變化速度之間的關(guān)系，通過公式推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為原始數(shù)據(jù)的關(guān)系。

3 、回歸分析預(yù)測 （ 一般 ）

求一個因變量與若干自變量之間的關(guān)系，若自變量變化后，求因變量如何變化； 樣本點(diǎn)的個數(shù)有要求：
①自變量之間協(xié)方差比較小，最好趨近于 0，自變量間的相關(guān)性小；
②樣本點(diǎn)的個數(shù) n＞3k+1，k 為預(yù)測個數(shù)；

4、馬爾科夫預(yù)測 （ 較好 ）

一個序列之間沒有信息的傳遞，前后沒聯(lián)系，數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間隨機(jī)性強(qiáng)，相互不影響；今天的溫度與昨天、后天沒有直接聯(lián)系，預(yù)測后天溫度高、中、低的概率，只能得到概率，其算法本身也主要針對的是概率預(yù)測。

5、時間序列預(yù)測

預(yù)測的是數(shù)據(jù)總體的變化趨勢，有一、二、三次指數(shù)平滑法（簡單），ARMA（較好）。

6、小波分析預(yù)測（高大上）

數(shù)據(jù)無規(guī)律，海量數(shù)據(jù)，將波進(jìn)行分離，分離出周期數(shù)據(jù)、規(guī)律性數(shù)據(jù)；其預(yù)測主要依靠小波基函數(shù)，不同的數(shù)據(jù)需要不同的小波基函數(shù)。網(wǎng)上有個通用的預(yù)測波動數(shù)據(jù)的函數(shù)。

7、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （ 較好?）

大量的數(shù)據(jù)，不需要模型，只需要輸入和輸出，黑箱處理，建議作為檢驗(yàn)的辦法，不過可以和其他方法進(jìn)行組合或改進(jìn)，可以拿來做評價和分類。

8、 混沌序列預(yù)測（高大上）

適用于大數(shù)據(jù)預(yù)測，其難點(diǎn)在于時延和維數(shù)的計算。

9、 插值與擬合 （ 一般 ）

擬合以及插值還有逼近是數(shù)值分析的三大基礎(chǔ)工具，通俗意義上它們的區(qū)別在于：擬合是已知點(diǎn)列，從整體上靠近它們；插值是已知點(diǎn)列并且完全經(jīng)過點(diǎn)列；逼近是已知曲線，或者點(diǎn)列，通過逼近使得構(gòu)造的函數(shù)無限靠近它們。

10、模糊綜合評判 （ 簡單 ） 不建議 單獨(dú) 使用

評價一個對象優(yōu)、良、中、差等層次評價，評價一個學(xué)校等，不能排序

11、層次分析法（AHP）（ 簡單 ） 不建議 單獨(dú) 使用

作決策，去哪旅游，通過指標(biāo)，綜合考慮作決策

12、 數(shù)據(jù)包絡(luò)（DEA ）分析法 （ 較好 ）

優(yōu)化問題，對各省發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行評判

13、秩和比綜合評價法和熵權(quán)法 （ 較好?）

秩和比綜合評價法是評價各個對象并排序，但要求指標(biāo)間關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)；熵權(quán)法是根據(jù)各指標(biāo)數(shù)據(jù)變化的相互影響，來進(jìn)行賦權(quán)。兩者在對指標(biāo)處理的方法類似。

14、優(yōu)劣解距離法(TOPSIS ?法) （備用）

其基本原理，是通過檢測評價對象與最優(yōu)解、最劣解的距離來進(jìn)行排序，若評價對象最靠近最優(yōu)解同時又最遠(yuǎn)離最劣解，則為最好；否則為最差。其中最優(yōu)解的各指標(biāo)值都達(dá)到各評價指標(biāo)的最優(yōu)值。最劣解的各指標(biāo)值都達(dá)到各評價指標(biāo)的最差值。

15、投影尋蹤綜合評價法 （ 較好?）

可揉和多種算法，比如遺傳算法、模擬退火等，將各指標(biāo)數(shù)據(jù)的特征提取出來，用一個特征值來反映總體情況；相當(dāng)于高維投影之低維，與支持向量機(jī)相反。該方法做評價比一般的方法好。

16、方差分析、協(xié)方差分析等 （ 必要?）

方差分析：看幾類數(shù)據(jù)之間有無差異，差異性影響，例如：元素對麥子的產(chǎn)量有無影響，差異量的多少
協(xié)方差分析：有幾個因素，我們只考慮一個因素對問題的影響，忽略其他因素，但注意初始數(shù)據(jù)的量綱及初始情況。
此外還有靈敏度分析，穩(wěn)定性分析。

17、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、0-1 ?規(guī)劃 （ 一般 ）

模型建立比較簡單，可以用 lingo 解決，但也可以套用智能優(yōu)化算法來尋最優(yōu)解。

18、非線性規(guī)劃與智能優(yōu)化算法握（智能算法至少掌握 1-2 ） 個，其他的了解即可）

非線性規(guī)劃包括：無約束問題、約束極值問題
智能優(yōu)化算法包括：模擬退火算法、遺傳算法、改進(jìn)的遺傳算法、禁忌搜索算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、粒子群等
其他規(guī)劃如：多目標(biāo)規(guī)劃和目標(biāo)規(guī)劃及動態(tài)規(guī)劃等

19、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化 （ 較好?）

離散數(shù)學(xué)中經(jīng)典的知識點(diǎn)——圖論。主要是編程。

20、排隊(duì)論與計算機(jī)仿真?

排隊(duì)論研究的內(nèi)容有 3 個方面：統(tǒng)計推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊(duì)有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計和有效運(yùn)行各個服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。計算機(jī)仿真可通過元胞自動機(jī)實(shí)現(xiàn)，但元胞自動機(jī)對編程能來要求較高，一般需要證明其機(jī)理符合實(shí)際情況，不能作為單獨(dú)使用。

21 、圖像處理 （ 較好?）

MATLAB 圖像處理，針對特定類型的題目，一般和數(shù)值分析的算法有聯(lián)系。
例如 2013 年國賽 B 題，2014 網(wǎng)絡(luò)賽 B 題。

22、支持向量機(jī)?

支持向量機(jī)實(shí)現(xiàn)是通過某種事先選擇的非線性映射（核函數(shù)）將輸入向量映射到一個高維特征空間，在這個空間中構(gòu)造最優(yōu)分類超平面。主要用于分類。

23、多元分析

1、聚類分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析處理過程的一部分，可以通過分析各指標(biāo)數(shù)據(jù)的變化情況，然后將數(shù)據(jù)變化相似的指標(biāo)用一種具有代表性的來代替，從而達(dá)到降維的目的。
4、判別分析
5、典型相關(guān)分析
6、對應(yīng)分析
7、多維標(biāo)度法（一般）
8、偏最小二乘回歸分析（較好）

24 、分類與判別

主要包括以下幾種方法，
1、距離聚類（系統(tǒng)聚類）（一般）
2、關(guān)聯(lián)性聚類
3、層次聚類
4、密度聚類
5、其他聚類
6、貝葉斯判別（較好）
7、費(fèi)舍爾判別（較好）
8、模糊識別

25 、關(guān)聯(lián)與因果

1、灰色關(guān)聯(lián)分析方法
2、Sperman 或 kendall 等級相關(guān)分析
3、Person 相關(guān)（樣本點(diǎn)的個數(shù)比較多）
4、Copula 相關(guān)（比較難，金融數(shù)學(xué)，概率密度）
5、典型相關(guān)分析（例：因變量組 Y1234，自變量組 X1234，各自變量組相關(guān)性比較強(qiáng)，問哪一個因變量與哪一個自變量關(guān)系比較緊密？）
6、標(biāo)準(zhǔn)化回歸分析。若干自變量，一個因變量，問哪一個自變量與因變量關(guān)系比較緊密
7、生存分析（事件史分析）（較好） 數(shù)據(jù)里面有缺失的數(shù)據(jù)，哪些因素對因變量有影響
8、格蘭杰因果檢驗(yàn)。 計量經(jīng)濟(jì)學(xué)，去年的 X 對今年的 Y 有沒影響
9、優(yōu)勢分析

26、量子優(yōu)化算法 （ 高大上 ）

量子優(yōu)化可與很多優(yōu)化算法相結(jié)合，從而使尋優(yōu)能力大大提高，并且計算速率提升了很多。其主要通過編程實(shí)現(xiàn)，要求編程能力較好。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模及其算法概述的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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