堆與堆排序（一）

上一篇博文 淺談優先隊列 介紹了什么是優先隊列，文末提到了一種數據結構——“堆”，基于“堆”實現的優先隊列，出隊和入隊的時間復雜度都為 O(logN).

這篇博文我們就走進“堆”，看看它到底是什么結構。

此堆非彼堆

值得注意的是，這里的“堆”不是內存管理中提到的“堆棧”的“堆”。前者的“堆”——準確地說是二叉堆，是一種類似于完全二叉樹的數據結構；后者的“堆”是一種類似于鏈表的數據結構。

堆的結構性質

二叉堆在邏輯結構上是一棵完全二叉樹。什么是完全二叉樹呢？即樹的每一層都是滿的，除了最后一層最右邊的元素有可能缺位。

如下圖所示，打錯號的兩個不是完全二叉樹，其他都是。

對于一個有 N 個節點的完全二叉樹，我們可以為它的每個節點指定一個索引，方法是從上至下，從左到右，從1開始連續編號，如下圖黑色數字所示。了解二叉樹的朋友一定看出來了，這就是二叉樹的層序遍歷。

可以看出，對于一個有 N 個節點的完全二叉樹，索引值和元素是一一對應的。所以完全二叉樹可以用一個數組來表示而不需要指針：索引值就是數組的下標，元素的值就是節點的關鍵字。

如下圖，是一個完全二叉樹和數組的相互關系。

如果你繼續觀察，就會發現另一個規律：對于數組任一位置 i 上的元素，其左兒子在位置 2i 上，右兒子在2i+1上，它的父親則在位置 ?i/2??i/2?上。

以節點 D 為例，D 的下標是 4.

• B是它的父節點，B的下標是2（=4/2），如圖中黑色的線；
• H是它的左孩子，H的下標是8（=4*2），如圖中藍色的線；
• I是它的右孩子，I的下標是9（=4*2+1），如圖中紅色的線；

堆序性質

二叉堆一般分為兩種：最大堆和最小堆。

最大堆：也叫做大根堆。每一個節點的值（或者說關鍵字）都要大于或等于它孩子的值（對于任何葉子我們認為這個條件都是自動滿足的）。下圖就是一個最大堆。

最小堆：也叫做小根堆。每一個節點的值（或者說關鍵字）都要小于或等于它孩子的值（對于任何葉子我們認為這個條件都是自動滿足的）。下圖就是一個最小堆。

值得注意的是：以大根堆為例，在任何從根到某個葉子的路徑上，鍵值的序列是遞減的（如果允許相等的鍵存在，則是非遞增的）。然而，鍵值之間并不存在從左到右的次序。也就是說，在樹的同一層節點之間，不存在任何關系，更一般地來說，在同一節點的左右子樹之間也沒有任何關系。

堆的重要特性

以大根堆為例，把堆的重要特性總結如下。

只存在一棵 n 個節點的完全二叉樹。它的高度等于?log2n??log2?n?

堆的根總是包含了堆的最大元素

堆的一個節點以及該節點的子孫也是一個堆

可以用數組來實現堆，方法是用從上到下、從左到右的方式來記錄堆的元素。為了方便起見，可以在這種數組從 1 到 n 的位置上存放堆的元素，留下H[0]，要么讓它空著，要么在其中放一個限位器，它的值大于堆中任何一個元素。

在 4 的表示法中：

1) 父母節點的鍵將會位于數組的前?n/2??n/2?個位置中，而葉子節點的鍵將會占據后?n/2??n/2?個位置。

2) 在數組中，對于一個位于父母位置 i 的鍵來說，它的子女將會位于2i和2i+1. 相應地，對于一個位于i的鍵來說，它的父母將會位于?i/2??i/2?

對于上面提到的父母節點的鍵將會位于數組的前?n/2??n/2?個位置中，而葉子節點的鍵將會占據后?n/2??n/2?個位置。這一點我覺得很有意思，咱們不嚴格證明，僅簡單分析一下為什么會這樣。

設一個堆共有N個元素。判斷一個索引為 i 的節點是不是父母節點，可以看它有沒有孩子。如果它有孩子，那么2i一定小于等于N，換句話說，如果2i大于N，則可以斷定它是葉子節點，在它位置之后的節點（如果有的話）也一定是葉子節點，因為從 2i > N 可以推出 2(i+1) > N，2(i+2) > N，…

所以，只要求解不等式 2i > N， 取i的最小值，就得到第一個葉子節點的位置。

經過演算，i 的最小值是 i=?N/2?+1i=?N/2?+1，所以，最后一個父母節點的位置是 ?n/2??n/2?

如何構造一個堆

針對給定的一列鍵值，如何構造一個堆呢？

方法一：自底向上堆構造

假設要構造一個大根堆，步驟如下：

在初始化一棵包含 n 個節點的完全二叉樹時，按照給定的順序來放置鍵；

按照下面的方法，對樹進行“堆化”

從最后一個父母節點開始，到根為止，該算法檢查這些節點的鍵是否滿足父母優勢的要求。如果該節點不滿足，就把該節點的鍵 K 和它子女的最大鍵進行交換，然后再檢查在新的位置上，K 是否滿足父母優勢要求。這個過程一直繼續到對 K 的父母優勢要求滿足為止（最終它必須滿足，因為對每個葉子中的鍵來說，這條件是自動滿足的）。

對于以當前父母節點為根的子樹，在完成它的“堆化”以后，對該節點的直接前趨（數組中此節點的前一個節點）進行同樣的操作。在對樹的根完成這種操作以后，該算法就停止了。

如果該節點不滿足父母優勢，就把該節點的鍵 K 和它子女的最大鍵進行交換，然后再檢查在新的位置上，K 是否滿足父母優勢要求。這個過程一直繼續到對 K 的父母優勢要求滿足為止——這種策略叫做下濾（percolate down）。

假設有一列鍵（共10個）：4,1,3,2,16,9,10,14,8,7

那么，按照上面給定的鍵值順序，對應的完全二叉樹如下圖。

最后一個父母節點是5（=10/2），我們從5號節點開始對這個二叉樹進行堆化。

看完這些圖，相信你已經知道如何構建大根堆了。下面就用C語言來實現。

遞歸解法

根據上文的算法描述，很容易想到用遞歸來實現。我們先設計一個函數——下濾函數。

先寫幾個宏。給定一個位置為 i 的節點，很容易算出它的左右孩子的位置和父母的位置。

#define LEFT(i) (2*i) // i 的左孩子 #define RIGHT(i) (2*i+1) // i 的右孩子 #define PARENT(i) (i/2) // i 的父節點

假定以 LEFT(t) 和 RIGHT(t) 為根的子樹都已經是大根堆，下面的函數調整以 t 為根的子樹，使之成為大根堆。

// 下濾函數（遞歸解法） // 假定以 LEFT(t) 和 RIGHT(t) 為根的子樹都已經是大根堆 // 調整以 t 為根的子樹，使之成為大根堆。 // 節點位置為 1~n，a[0]不使用 void percolate_down_recursive(int a[], int n, int t) { #ifdef PRINT_PROCEDUREprintf("check %d\n", t); #endifint left = LEFT(t);int right = RIGHT(t); int max = t; //假設當前節點的鍵值最大if(left <= n) // 說明t有左孩子 {max = a[left] > a[max] ? left : max;}if(right <= n) // 說明t有右孩子 {max = a[right] > a[max] ? right : max;}if(max != t){ swap(a + max, a + t); // 交換t和它的某個孩子，即t下移一層 #ifdef PRINT_PROCEDUREprintf("%d NOT satisfied, swap it and %d \n",t, max); #endifpercolate_down_recursive(a, n, max); // 遞歸，繼續考察t} }//交換*a和*b, 內部函數 static void swap(int* a, int* b) {int temp = *a;*a = *b;*b = temp; }

有了上面的函數，我們就可以從最后一個父母節點開始，到根為止，逐個進行“下濾”。

非遞歸解法

以上代碼是用“交換法”（第26行）對節點進行下濾。一次交換需要3條賦值語句，有沒有更好的寫法呢？有，就是“空穴法”（我自己起的名字）。我們先說明空穴法的原理，然后附上代碼。

以上圖中“檢查1號節點，不滿足”這個地方開始，對1號節點進行下濾。

// 非遞歸且不用交換 void percolate_down_no_swap(int a[], int n, int t) {int key = a[t]; // 用key記錄鍵值int max_idx;int heap_ok = 0; // 初始條件是父母優勢不滿足 #ifdef PRINT_PROCEDURE printf("check %d\n", t); #endif // LEFT(t) <= n 成立則說明 t 有孩子while(!heap_ok && (LEFT(t) <= n)){ max_idx = LEFT(t); // 假設左右孩子中，左孩子鍵值較大if(LEFT(t) < n) // 條件成立則說明有2個孩子{if(a[LEFT(t)] < a[RIGHT(t)])max_idx = RIGHT(t); //說明右孩子的鍵值比左孩子大}//此時max_idx指向鍵值較大的孩子if(key >= a[max_idx]){heap_ok = 1; //為 key 找到了合適的位置，跳出循環}else{ a[t] = a[max_idx]; //孩子上移一層，max_idx 被空出來，成為空穴 #ifdef PRINT_PROCEDURE printf("use %d fill %d \n", max_idx, t);printf("%d is empty\n", max_idx); #endif t = max_idx; //令 t 指向空穴 } }a[t] = key; // 把 key 填入空穴 #ifdef PRINT_PROCEDURE printf("use value %d fill %d \n", key, t);#endif return; }

如果在編譯的時候定義宏PRINT_PROCEDURE，則可以看到堆化過程和上文的六張圖相符。假設源文件名是 max_heap.c，在編譯的時候用-D宏名稱可以定義宏。

gcc max_heap.c -DPRINT_PROCEDURE

方法二：自頂向下堆構造

除了上面的算法，還有一種算法（效率較低）是通過把新的鍵連續插入預先構造好的堆，來構造一個新堆。有的人把它稱作自頂向下堆構造。

首先，把一個鍵值為 K 的新節點附加在當前堆的最后一個葉子后面；

然后，拿 K 和它父母的鍵做比較。如果 K 小于等于它的父母，那么算法停止；否則交換這兩個鍵，并把 K 和它的新父母做比較。

重復2，一直持續到 K 不大于它的父母，或者 K 成為樹根為止。

這種策略叫做上濾（percolate up）。

依然以4,1,3,2,16,9,10,14,8,7這列鍵為例，用圖說明上濾的過程。

細心的讀者應該已經看出來了：下濾法構造的堆，其對應的數組是

[16,14,10,8,7,9,3,2,4,1]

而上濾法構造的堆，其數組是

[16,14,10,8,7,3,9,1,4,2]

所以得出結論：對于同一列鍵，用下濾法和上濾法構造出來的堆，不一定完全相同。

囿于篇幅，“堆”就說到這里，上濾法的代碼，咱們下次說。

參考資料

https://blog.csdn.net/guoweimelon/article/details/50904346

總結

以上是生活随笔為你收集整理的堆与堆排序（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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