數論倒數，又稱逆元（因為我說習慣逆元了，下面我都說逆元）

先來引入求余概念

(a + ?b) % p = (a%p + ?b%p) %p ?（對）

(a ?-? b) % p = (a%p ?- ?b%p) %p ?（對）

(a ?* ?b) % p = (a%p * ?b%p) %p ?（對）

(a ?/ ?b) % p = (a%p ?/ ?b%p) %p ?（錯）

?

為什么除法錯的

證明是對的難，證明錯的只要舉一個反例

(100/50)%20 = 2 ? ? ? ≠ ? ? ?(100%20) / (50%20) %20 = 0

對于一些題目，我們必須在中間過程中進行求余，否則數字太大，電腦存不下，那如果這個算式中出現除法，會損失精度，導致答案變小。

?

這時就需要逆元了

我們知道，如果a*x = 1那么x是a的倒數，x = 1/a但是a如果不是1，那么x就是小數那數論中，大部分情況都有求余，所以現在問題變了a*x ?= 1 (mod p)那么x一定等于1/a嗎？不一定。所以這時候，我們就把x看成a的倒數，只不過加了一個求余條件，所以x叫做 ? ?a關于p的逆元。這時就需要逆元了

我們知道，如果a*x = 1那么x是a的倒數，x = 1/a。但是a如果不是1，那么x就是小數，那數論中，大部分情況都有求余，所以現在問題變了，a*x ?= 1 (mod p)，那么x一定等于1/a嗎？不一定

所以這時候，我們就把x看成a的倒數，只不過加了一個求余條件，所以x叫做 ? ?a關于p的逆元。比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2關于5的逆元，或者說2和3關于5互為逆元。這里3的效果是不是跟1/2的效果一樣，所以才叫數論倒數

?

a的逆元，我們用inv(a)來表示。

那么(a ?/ ?b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

這樣就把除法，完全轉換為乘法了，乘法超容易

a和p互質，a才有關于p的逆元

乘法逆元及其應用

　　滿足?a * k ≡ 1 (mod p)?的k?叫做?a關于p的乘法逆元。另一種表達方法是?k ≡ a-1?(mod p)

應用：

我們知道(a+b)%p=(a%p+b%p)%p

　　　　(a*b)%p=(a%p)*(b%p)%p

而求(a/b)%p時，可能會因為a是一個很大的數，不能直接算出來，卻又不能(a/b)%p=(a%p/b%p)%p。

但是可以通過?k ≡ b-1?(mod p)?

a / b

= a * b-1?(mod p?)

=?(a?mod p?) * (b-1?mod p?)??mod p

?

=?(a?mod p?) * (k?mod p?)??mod p

= a * k mod p

轉換為a*k % p 的問題，然后a是一個加減乘的式子，就可以用上面兩個取余公式了。

正篇開始：

逆元怎么求？

?

方法一：(滿足p為質數)

費馬曾經說過：不想當數學家的數學家不是好數學家（(￣▽￣)~*我隨便說的，別當真）

費馬小定理(因為費馬小定理的前提 就是 p為質數)

a^(p-1) ≡1 (mod p)

兩邊同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

什么？這可是數論，還敢寫1/a

應該寫a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

?

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

這個用快速冪求一下，復雜度O(logn)(? ??_??)??

LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p LL ret = 1;while(b){if(b & 1) ret = (ret * a) % p;a = (a * a) % p;b >>= 1;}return ret; } LL Fermat(LL a, LL p){//費馬求a關于b的逆元 return pow_mod(a, p-2, p); }

方法二：(p可以不是質數)

?

要用擴展歐幾里德算法

還記得擴展歐幾里德嗎？（不記得的話，歐幾里得會傷心的(╭￣3￣)╭?）

?

a*x + b*y = 1

如果ab互質，有解

?

這個解的x就是a關于b的逆元

y就是b關于a的逆元

為什么呢？

?

你看，兩邊同時求余b

?

a*x % b + b*y % b = 1 % b

a*x % b = 1 % b

a*x = 1 (mod b)

?

你看你看，出現了！！！(/≥▽≤/)

所以x是a關于b的逆元

反之可證明y

#include<cstdio> typedef long long LL; void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}else{ex_gcd(b, a % b, y, x, d);y -= x * (a / b);} } LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1 LL d, x, y;ex_gcd(t, p, x, y, d);return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1; } int main(){LL a, p;while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){printf("%lld\n", inv(a, p));} }

方法三：(當p為質數時，可以用下面的方法在O(n)的復雜度下求出多個數關于p的逆元)

當p是個質數的時候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
?

這為啥是對的咩？

證明不想看的孩子可以跳過。。。

證明：
設x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移項得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
?

然后一直遞歸到1為止，因為1的逆元就是1

代碼：

#include<cstdio> typedef long long LL; LL inv(LL t, LL p) {//求t關于p的逆元，注意:t要小于p，最好傳參前先把t%p一下 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p; } int main(){LL a, p;while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){printf("%lld\n", inv(a%p, p));} }

這個方法不限于求單個逆元，比前兩個好，它可以在O(n)的復雜度內算出n個數的逆元

遞歸就是上面的寫法，加一個記憶性遞歸，就可以了

遞推這么寫

#include<cstdio> const int N = 200000 + 5; const int MOD = (int)1e9 + 7; int inv[N]; int init(){inv[1] = 1;for(int i = 2; i < N; i ++){inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;} } int main(){init(); }

練習 :? ZOJ3609? hdu1576? poj1601(拓展歐幾里得)?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的逆元~（乘法逆元及其应用）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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