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1、計算機科學的數學基礎,第一章：語言與正規語言,1.1 符號、符號串及其運算,符號和符號串在形式語言中是非常重要的基本概念。,在計算機科學的發展中，符號主義一直占據著非常重要的位置。,語言的基礎是字母表。,王雷版權所有,1.1 符號、符號串及其運算,字母表：一個非空的有限集合稱為字母表，通常用或者大寫的西文字母表示。字母表中的元素稱作為字母或符號，一般用小寫字母、數字等表示。,符號串：一個符號串是由字母表中的字母組成的一個有限序列。,符號串的長度：符號串所包含符號的個數稱為符號串的長度。符號串w的長度記為|w|。,空串：長度為0的符號串稱為空串，用表示。,王雷版權所有,1.1 符號、符號串及其運。

2、算,符號串的聯結：聯結是符號串的基本運算。兩個符號串X和Y的聯結，記為XY，就是把Y跟隨在X的后面形成的符號串。,例1.1：設 = 1, 2是一個字母表。設X = 11、Y = 22分別是上的兩個符號串。則： XY = 1122是X、Y兩個符號串的聯結，XY是上的一符號串。 YX = 2211是Y、X兩個符號串的聯結，YX也是上的一符號串。,一般來說，符號串的聯結不滿足交換律。顯然符號串的聯結是滿足結合律的，即有，(XY)Z = X(YZ)。在例1.1中，顯然有XYYX，(XY)X = X(YX) = 112211。,王雷版權所有,1.1 符號、符號串及其運算,由于是不含符號的符號串(空串)，。

3、所以對任意符號串X都有，X = X = X。由此我們可以認為是符號串聯結運算的單位元。,符號串的方冪：設X是符號串，把X自身聯結n次后，得到的符號串Z，即Z = XXXX = Xn，稱為X的方冪。我們約定X0 = 。這個定義可以遞歸地表示為：,A,B,王雷版權所有,1.1 符號、符號串及其運算,符號串的子串、前綴和后綴： 符號串V是符號串W的子串，當且僅當存在符號串X和Y，使得W = XVY。這里，X和Y都可能是空串。,集合的聯結：設A和B都是符號串的集合，定以集合A和B的聯結為： AB = XY | XA且YB， 即集合A和B的聯結是集合A中的符號串和集合B中的符號串的聯結所構成的集合。,A。

4、,B,王雷版權所有,1.1 符號、符號串及其運算,集合的方冪：設A是符號串的集合，把A自身聯結n次后，得到的新的集合An，即An = AAA，稱為集合A的方冪。 我們約定A0 = 。這個定義可以遞歸地表示為：,王雷版權所有,1.1 符號、符號串及其運算,集合的閉包和正閉包：設A是符號串的集合，用A*表示A的所有的有限次方冪的并集，則稱A*為集合A上的閉包，即：,注意：閉包A*與正閉包A+的差別在于是否包含空串。在閉包A*中去掉空串后就成為正閉包A+。A* 具有可數無窮多的符號串。,A* = A0A1A2An 而稱A+ = A1A2An 為A上的正閉包，顯然,有 A* = A0 A+ ， A+ 。

5、= A*A = AA*。,語言：令為一個字母表。若L *，則L是字母表上的一個語言。 即：L為一個由字母表上的字符串所構成的集合。,王雷版權所有,1.2 文法與語言的形式定義,語言都是用文法來描述的。 一個文法實際上是一組有限的規則式。,非終結符(一種過渡性符號)：也是一種符號，但不是字母表中的符號。我們將它記為V。,終結符：是一個語言的字母表中的符號。我們將它記為T。,對于一個形式語言L，設T和V分別是它的終結符集和非終結符集，顯然有L T*，且TV = 。,王雷版權所有,1. 2. 1 文法的形式化定義,王雷版權所有,1. 2. 1 文法的形式化定義,王雷版權所有,1. 2. 1 文法的形。

6、式化定義,王雷版權所有,1. 2. 2 推導的形式化定義,王雷版權所有,1. 2. 2 推導的形式化定義,王雷版權所有,1. 2. 2 推導的形式化定義,規范句型、短語、直接短語和句柄,定義1. 5：給定一個文法G = (V, T, P, S)，如果符號串x是從文法G的開始符號S推導出來的，即S *x，則稱x是文法G的句型。如果符號串x是僅由終結符組成的句型，即S*x且xT*，則稱x是文法G的句子。 由規范推導所得到的句型就稱之為規范句型。,王雷版權所有,1. 2. 2 推導的形式化定義,規范句型、短語、直接短語和句柄,定義1. 6 設GS是一文法，x = w是一句型， 如果：S*A且A * 。

7、w 則稱w是句型x的一個相對于非終結符A的短語； 如果：S*A且Aw 則稱w是句型x的一個相對于非終結符的直接短語(或簡單短語)； 如果w是一個句型x的最左直接短語，稱w為句型x的句柄。,王雷版權所有,1.2.3 語言的形式化定義,王雷版權所有,1.2.3 語言的形式化定義,王雷版權所有,1.2.3 語言的形式化定義,王雷版權所有,1.2.4 語法樹,王雷版權所有,1.2.4 語法樹,定義1.9 如果一個文法存在某個句子對應兩棵以上的不同的語法樹，或有兩個以上的不同的最左(右)推導，則稱該文法是二義性文法(程序設計語言不能有二義性 )。,定義1.10 如果一個語言L的任何文法都是二義性文法，則。

8、稱該語言L是二義性語言。 在理論上已經證明了，存在著這種二義性的語言。 文法的二義性與語言的二義性是兩個不同的概念。,A,B,王雷版權所有,1.2.5 文法和語言的類型,王雷版權所有,諾姆喬姆斯基(Noam Chomsky, 1928-)，美國語言學家，轉換-生成語法的創始人。1928年12月7日出生于美國賓夕法尼亞州的費城。1947年，在哈里斯的影響下他開始研究語言學。1951年在賓夕法尼亞大學完成碩士論文現代希伯萊語語素音位學，1955年在該校完成博士論文轉換分析，獲得博士學位。從1955年秋天開始，他一直在麻省理工學院工作，曾任該校語言學與哲學系主任，并任該校認知科學研究中心主任，為語言。

9、學界培養了一批有素養的學者。,1.2.5 文法和語言的類型,王雷版權所有,1.2.5 文法和語言的類型,王雷版權所有,1.2.5 文法和語言的類型,王雷版權所有,1.2.5 文法和語言的類型,王雷版權所有,1.2.5 文法和語言的類型,王雷版權所有,1.3 正規表達式(正規式 ),王雷版權所有,1.3 正規表達式(正規式 ),王雷版權所有,1.3 正規表達式(正規式 ),王雷版權所有,1.3 正規表達式(正規式 ),王雷版權所有,1.3 正規表達式(正規式 ),正規表達式運算符的優先級順序,王雷版權所有,1.4 正規文法與正規式,一個正規語言可以由正規文法定義，也可由正規式定義，對任意一個正規文法，存在一個定義同一個語言的正規式；反之，對于每一個正規式，存在一個生成同一語言的正規文法。,正規表達式和正規文法 之間是可以互相轉換的。,王雷版權所有,1.4 正規文法與正規式,正規表達式轉換成正規文法,王雷版權所有,1.4 正規文法與正規式,將正規文法轉換成正規式,王雷版權所有,1.4 正規文法與正規式,將正規文法轉換成正規式,王雷版權所有,1.4 正規文法與正規式,將正規文法轉換成正規式,王雷版權所有,Thank You !,王雷 湘潭大學信息工程學院 2012版權所有。

總結

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