漲落耗散定理是平衡態統計物理的一個極為重要的結果，該定理將一個統計力學體系的漲落關聯與其對外界刺激的響應用一個干凈的等式聯系了起來。有了該定理，測量響應就可以獲得平衡態體系的關聯性質，反之亦然。如果取靜態極限，漲落耗散定理就退化為線性響應定理，而線性響應定理提供了一個理解對稱破缺體系的結構與剛性的基本框架。我們將通過簡單的例子對這些定理做一展示。

線性響應定理

現代物理學理論極大的依賴于線性模型，在許多情形，線性模型是一種對于真實世界的有效近似，可以得到許多有用的結果。

線性模型又稱為諧性近似(Harmonic Approximation)。顧名思義，在這些模型里，原本復雜的運動模式被近似為一組獨立運動的諧振子(Harmonic Oscillators).在操作意義下，這些諧振子對應的是將體系變形或者漲落的能量做高斯近似之后，系數矩陣的本征模式，而對應的本征值則構成這些諧振子模式的激發能量。

考慮一個簡單的諧振子。

(a)關聯

我們首先研究其平衡態漲落關聯性質。記平衡位置為x0,由于漲落，偏離平衡位置的位移記為△x=x-x0。顯然，該諧振子的漲落能量：E(△x)=(1/2)k△x2，這里，k是諧振子的彈性常數。由平衡態玻爾茲曼分布可知，漲落分布函數：P(△x)～exp[-E/kBT]～exp[-k△x2/2kBT],即高斯分布，或者叫正則分布。這里，kB是玻爾茲曼常數。漲落關聯C=對應于該分布的方差。由高斯分布的知識立刻知道：C=kBT/k.

當然這一結果也可以由能量均分原理得出。能量均分原理說，平衡時，每一個自由度的能量是(1/2)kBT.我們所考慮的諧振子是一個自由度，其平均能量為：(1/2)k.因此：(1/2)k=(1/2)kBT。即得上式關聯函數。

(b)響應

現在我們研究該諧振子對外場的響應性質。施加外力f。外力場下諧振子能量修改為：

E(△x,f)=(1/2)k△x2+f△x,其中，第一項是未加外場時的能量，第二項是由于外場存在所生成的能量。

在外場下，諧振子的平均位移是多少？力學里，這是由最小化能量導出的歐拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程所決定的。因此能量對位移求導可得：k=-f.取絕對值大小：k=f,進一步寫成=k-1f.立即可以看出，平均位移對于外力的響應性質由系數k-1給出，即，響應函數χ=k-1。(由于這里考慮的是整體響應，沒有局域效應，因此響應函數體現為一個常數。)

將關聯函數和響應函數做對比，立刻得出：χ=C/kBT.此結果即線性響應理論，將外場響應函數χ與漲落關聯函數C聯系了起來。

(c)剛性

現在我們進一步考慮剛性。考慮一個材料體系，經過對稱破缺后形成了有序結構，考慮簡單的一維情形，此時結構由周期L刻劃。材料的剛性由彈性模量G描寫。漲落引起應變：△x/L.對應的應力：G△x/L.因為應力是單位面積的力，所以力為：L2(G△x/L)=GL△x。在諧振子近似下知道力為：k△x,因此:k=GL，此式體現了響應與剛性的關系。因為χ=k-1，所以χ=1/(GL).因此，G越大，χ越小。也就是說，彈性模量大的材料有小的外場響應。

更加定量的分析。考慮一個有序結構，何時漲落可以破壞該結構？答案是當漲落位移比結構的周期還要大時。即：≥L2.考慮平衡條件：=L2，由：C==kBT/k，k=GL,得到：G=kBT/L3.因此，對稱破缺之前的無序相，由于L=∞,所以G=0,即無序(氣)相沒有剛性。隨著對稱破缺，周期L變成有限大小，材料逐步獲得剛性。這里體現的是凝聚態物理中對稱破缺導致有序和剛性的觀念。如果引申一下，這對應的是量子場論中對稱破缺產生粒子質量的觀念。

上式也可以寫成：GL3=kBT，這體現的是一個熱激發單元的概念。如果已經知道一個材料的G,則可以由該公式得到一個有序化的特征長度尺度L.考慮一個尺度d,當d>L時，Gd3>kBT,材料剛性所產生的彈性能量大于熱能，材料有序，在該尺度對稱破缺。反之，對于d

根據L的大小，可以對材料進行粗略的劃分。L→∞,無序氣相；L→a,硬材料，這里，a大約是原子間距；介于兩者之間，對稱性在較大尺度破缺，導致G較小，因此成為軟材料，對應于聚合物，膠體，液晶等軟物質物理的研究范圍。

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總結

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