目錄

復(fù)習(xí)定積分（單變量）

二重積分

今日小結(jié)

---

復(fù)習(xí)定積分（單變量）

在之前，先復(fù)習(xí)一下之前學(xué)習(xí)的內(nèi)容。使用matlab求解定積分的步驟大概如下：

定義符號(hào)變量（syms關(guān)鍵字）

定義內(nèi)聯(lián)函數(shù)（inline函數(shù)）

使用matlab內(nèi)置函數(shù)進(jìn)行計(jì)算定積分或者不定積分（使用int函數(shù)，具體求解定積分還是不定積分，根據(jù)參數(shù)的數(shù)量決定）

我們都知道：定積分是求解一個(gè)圖形與坐標(biāo)軸圍成的面積。而今天我們需要深入理解一下：定積分是求解兩條曲線之間圍成的面積，如果只有一個(gè)公式，比如x，我們可以理解成 x-0，y=x 這個(gè)函數(shù)減去了 y=0這個(gè)常數(shù)函數(shù)，或者說，上面函數(shù)與x軸圍成的面積減去了下面函數(shù)與x軸圍成的面積（并且這個(gè)面積在x軸上方是正的，下方是負(fù)的），這樣我們就可以推廣，假設(shè)我們現(xiàn)在有兩條曲線，一個(gè)是sinx，一個(gè)是?,我們求在0-pi的范圍內(nèi)，兩個(gè)圖形圍成的面積，容易知道，兩個(gè)圖形大概是這樣圍起來的：

PS: 上圖的代碼和講解如下

%% 目標(biāo)圖像clc;clear all; % 清除原先的東西x = 0:0.01:pi; % x的范圍是0-pi，以0.01為一個(gè)小分割點(diǎn)細(xì)分出一個(gè)范圍y1 = sin(x); % sinxy2 = exp(x); % e^xfigure; % 弄一個(gè)figure的框體hold on; % 保持這個(gè)窗體，保證后面的內(nèi)容都畫在了上面，hold off解除subplot(221); % 開辟子窗體，221:共2行2列，里面的第一個(gè)fill(x,y1,'r'); % 畫圖并填充顏色，變量是x，函數(shù)是y1，顏色是r，紅色title('y=sinx');% 設(shè)置標(biāo)題，必需先f(wàn)ill，才能添加標(biāo)題，否則會(huì)失敗subplot(222); % 開辟子窗體，222，共2行2列，里面第二個(gè)fill(x,y2,'b'); % b 藍(lán)色title('y=e^x');subplot(223); % 開辟子窗體，223，共2行2列，里面第三個(gè)fill([x, fliplr(x)],[y1,fliplr(y2)],'g');% 兩個(gè)函數(shù)直接填充顏色，每一個(gè)方括號(hào)代表一個(gè)函數(shù)的內(nèi)容title('兩個(gè)函數(shù)中間的部分');hold off;

OK，那么我們就可以很容易的使用int()函數(shù)算出這樣一個(gè)定積分，代碼如下：

%% 對(duì)上面的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算定積分syms x;f = 'exp(x) - sin(x)';res_int = int(f, x, 0, pi);disp(res_int);

上面左邊是我手算結(jié)果，右邊是matlab計(jì)算結(jié)果，可見我算的還是很準(zhǔn)的哈哈哈哈哈哈哈。

二重積分

上面復(fù)習(xí)了定積分的計(jì)算和一般概念，下面我們看二重積分，先了解下二重積分是什么吧：

二重積分的一個(gè)概念是求體積（還有其他的，比如薄片質(zhì)量等，在這里先不談，先說體積的問題），那么明確概念其實(shí)就不難了，定積分求面積、二重積分求體積，那么這個(gè)體積是哪里的體積呢？

如圖，粉紅色的是z=f(x,y)的函數(shù)圖像，下面是地面的陰影部分，紅色的是邊界，這個(gè)體積就是粉色的頂部與底面陰影之間的一個(gè)曲頂柱體的體積，那這個(gè)體積怎么求呢？

在定積分中，我們把整個(gè)面積分成了無(wú)數(shù)個(gè)小面積，計(jì)算后累加，同樣的，在二重積分中，我們也采取同樣的方法，我們把這個(gè)柱體切成一個(gè)一個(gè)的小柱體，就像圖中的那個(gè)黃色柱體一樣，假設(shè)我們把整個(gè)底面分成了無(wú)數(shù)份，每一份的底面積都無(wú)限接近于0，假設(shè)這個(gè)底面積是d?，那么這個(gè)地方的高就是f(x,y)，所以這個(gè)小柱體的體積就是 f(x,y)d?，我們只需要將這些小體積全部加起來，就能得到整個(gè)曲頂柱體的體積公式了：

??

并且我們很容易發(fā)現(xiàn)，積分的區(qū)間其實(shí)就是底面，被積函數(shù)是曲面的公式。公式中各個(gè)符號(hào)在下圖中體現(xiàn)：

現(xiàn)在，計(jì)算一個(gè)例子給大家看，假設(shè)底面如圖所示（灰色陰影部分）：

先積分x(Y型)時(shí)區(qū)域可表示為：Dx = {(x,y)|0<=y<=1, y<=x<=1}。

先積分y(X型)時(shí)區(qū)域可表示為：Dy =?{(x,y)|0<=y<=x, 0<=x<=1}。

下面我們以X型為例，使用matlab計(jì)算曲面為 f(x,y) = xcos(y)的曲頂柱體的體積：

詳細(xì)的代碼以及注釋見下方：

%% 計(jì)算二重積分clear all;f = @(x,y)x.*cos(y); % 定義一個(gè)函數(shù)句柄，兩個(gè)變量分別是x,y% 這樣定義函數(shù)句柄時(shí)，需要在所有的運(yùn)算前加一個(gè).（表示對(duì)應(yīng)元素各自計(jì)算，不按照矩陣的規(guī)則）ymax = @(x) x; % 根據(jù)0<=y<=x處，右方的y=x反解出y，res = integral2(f,0,1,0,ymax);% 計(jì)算二重積分的函數(shù)% integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)disp(res);

最后，讓我們欣賞一下這個(gè)曲面的形狀吧：

代碼如下：

%% 看一看這個(gè)曲面吧[x,y] = meshgrid(0:0.001:1, 0:0.001:1);% 設(shè)置x和y的區(qū)間，以及細(xì)分程度z = (x.*cos(y)); % 使用一個(gè)z來代表這個(gè)函數(shù)mesh(x,y,z) % 畫出二維曲面圖像title('x*cos(y)')

那么，今天就先到這里吧，三重積分留到下次在講解，謝謝觀看！

今日小結(jié)

今天我們學(xué)到了如下的知識(shí)：

復(fù)習(xí)了之前學(xué)習(xí)的定積分、不定積分的內(nèi)容

學(xué)習(xí)了二重積分的概念，以及應(yīng)用的大概場(chǎng)景：求曲頂柱體體積，平面薄片質(zhì)量（底面換位薄片，被積函數(shù)即薄片面密度的函數(shù)）等。

學(xué)會(huì)了如何在一個(gè)figure里面繪制多個(gè)圖像

學(xué)會(huì)了如何在matlab中繪制圖像、對(duì)目標(biāo)區(qū)域填充顏色并命名標(biāo)題

學(xué)會(huì)了怎么使用matlab的integral2計(jì)算二重積分

學(xué)會(huì)了怎么在matlab中聲明（定義）一個(gè)函數(shù)句柄，或者說創(chuàng)建一個(gè)多元函數(shù)，以及怎么反解一個(gè)函數(shù)中某個(gè)變量（y = @(x) x? ，此處函數(shù)是y=x），其實(shí)說白了，反解函數(shù)就是定義函數(shù)句柄。

學(xué)會(huì)了怎么在matlab中繪制二維曲面的圖像。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB基础教程（9）——高级积分运算、二重积分的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。