Description

定義＂組合數＂S(n,m)代表將n 個不同的元素拆分成m 個非空集合的方案數．舉個例子，將{1,2,3}拆分成2 個集合有({1},{2,3}),({2},{1,3}),({3},{1,2})三種拆分方法．小貓想知道，如果給定n,m 和k,對于所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少對(i,j),滿足S(i,j)是k 的倍數．注意，0 也是k 的倍數,S(0,0)=1,對于i>=1,S(i,0)=0．

Input

從problem.in 種讀入數據第一行有兩個整數t,k,t 代表該測試點總共有多少組測試數據.接下來t 行,每行兩個整數n,m.

Output

輸出到文件problem.out 中t 行,每行一個整數代表所有的0<=i<=n,0<=j<=min(i,m),有多少對(i,j),滿足S(i,j)是k 的倍數.

Sample Input

輸入1：

1 2
3 3

輸入2：2 54 56 7

Sample Output

輸出1：

3

樣例說明1：S(1,0),S(2,0),S(3,0)均是2 的倍數

輸出2：

4
12

Data Constraint

對于20%的數據,滿足n,m<=7,k<=5
對于60%的數據,滿足n,m<=100,k<=10
對于每個子任務,都有50%的數據滿足t=1
對于100%的數據,滿足1<=n<=2000,1<=m<=2000,2<=k<=21,1<=t<=10000

Solution

• 首先，我們要先算出“組合數”的 S(n,m) ，

• 設 F[i][j] 表示：要放了前 i 個數、已經放入 j 個集合的方案數。

• 那么這第 i 個數顯然可以：①新開一個集合；②放入之前那 j 個集合中。

• 于是遞推轉移如下：

  F[i][j]=F[i?1][j]?j+F[i?1][j?1]

• 為了統計出這個值是否是 k 的倍數，于是我們將每個 F[i][j] 都模上 k ，若等于零則說明是：F[i][j]=(F[i?1][j]?j+F[i?1][j?1]) mod k

• 所以統計出 F 數組的前綴和，就可以 O(1) 回答詢問了。

Code

#include<cstdio> using namespace std; const int N=2001; int f[N][N],g[N][N]; inline int read() {int X=0,w=1; char ch=0;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();return X*w; } int main() {int t=read(),k=read();for(int i=f[0][0]=1;i<N;i++)for(int j=1;j<=i;j++)f[i][j]=(f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1])%k;for(int i=g[0][0]=1;i<N;i++)for(int j=0,sum=0;j<N;j++){if(j<=i) sum+=!f[i][j];g[i][j]=g[i-1][j]+sum;}while(t--){int x=read(),y=read();printf("%d\n",g[x][y]);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的JZOJ 5371. 【NOIP2017提高A组模拟9.17】组合数问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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