題目鏈接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6155

題解

DP+線代好題。(考場上過多時間剛前兩題，沒怎么想這題……)

首先列出一個DP式: 設\(dp[i][j]\)表示到第\(i\)位最后一位是\(j\)有多少個本質不同的子序列(最后一位不一定取到第\(i\)位)，考慮轉移:
假設\(a_i=0\), 那么\(dp[i][0]=2\times dp[i-1][0]+dp[i-1][1]-dp[i-1][0]+1=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+1\), 原因是考慮\(1\)到\(i-1\)中的子序列，可以在后面添一個0也可以不添，但是添完之后恰好有\(dp[i-1][0]\)個在前面出現過所以減掉，再加上前面以1結尾的串補上該處的0和單獨一個0; \(dp[i][1]=dp[i-1][1]\). \(a_i=1\)同理。
(好吧我知道這個DP還有其他的做法，但是這個還是最容易數據結構維護的)

然后考慮如果沒有修改怎么維護: 搞一個\(3\times 3\)的矩陣\[\textbf{A}_0\times \begin{bmatrix}f_0\\f_1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_0+f_1+1\\f_1\\1\end{bmatrix}, \textbf{A}_1\times \begin{bmatrix}f_0\\f_1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_0\\f_0+f_1+1\\1\end{bmatrix}\]
很輕易可以得到\[\rm\textbf{A}_0=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}, \rm\textbf{A}_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\]
線段樹維護區間乘積即可。

區間反轉怎么辦？維護兩棵線段樹？可能會被卡常，有更好的方法。（這也是此題的精妙之處）
我們發現矩陣\(\textbf{A}_0\)經過交換\(1,2\)行、交換\(1,2\)列的操作之后可以變成矩陣\(\rm\textbf{A}_1\), 矩陣\(\textbf{A}_1\)經過相同操作也可以變成\(\textbf{A}_0\).
也就是說我們構造初等矩陣\(\textbf{E}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，則有\(\textbf{E}=\textbf{E}^{-1}\), \(\textbf{A}_1=\textbf{E}\textbf{A}_0\textbf{E}, \textbf{A}_0=\textbf{E}\textbf{A}_1\textbf{E}\).
因此有\(\prod^{R}_{i=L}(\textbf{E}\textbf{T}_i\textbf{E})=\textbf{E}(\prod^R_{i=L}\textbf{T}_i)\textbf{E}\), 于是直接把乘積矩陣進行上述初等變換即可！

時間復雜度\(O(n\log n)\).

UPD: 剛才發現有大佬用\(2\times 2\)的矩陣維護，大概方法是令\(\textbf{A}_0\times\begin{bmatrix}f_0+1\\f_1+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_0+f_1+2\\f_1+1\end{bmatrix}\), \(1\)同理。只能說神仙到處是啊……

代碼

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define llong long long using namespace std;const int N = 1e5; const int P = 1e9+7; void updsum(llong &x,llong y) {x = x+y>=P?x+y-P:x+y;} struct Matrix {llong a[3][3];Matrix() {a[0][0] = a[0][1] = a[0][2] = a[1][0] = a[1][1] = a[1][2] = a[2][0] = a[2][1] = a[2][2] = 0;}void unitize() {a[0][0] = a[1][1] = a[2][2] = 1ll; a[0][1] = a[0][2] = a[1][0] = a[1][2] = a[2][0] = a[2][1] = 0ll;}Matrix operator *(const Matrix &arg) const{Matrix ret;updsum(ret.a[0][0],a[0][0]*arg.a[0][0]%P);updsum(ret.a[0][0],a[0][1]*arg.a[1][0]%P);updsum(ret.a[0][0],a[0][2]*arg.a[2][0]%P);updsum(ret.a[0][1],a[0][0]*arg.a[0][1]%P);updsum(ret.a[0][1],a[0][1]*arg.a[1][1]%P);updsum(ret.a[0][1],a[0][2]*arg.a[2][1]%P);updsum(ret.a[0][2],a[0][0]*arg.a[0][2]%P);updsum(ret.a[0][2],a[0][1]*arg.a[1][2]%P);updsum(ret.a[0][2],a[0][2]*arg.a[2][2]%P);updsum(ret.a[1][0],a[1][0]*arg.a[0][0]%P);updsum(ret.a[1][0],a[1][1]*arg.a[1][0]%P);updsum(ret.a[1][0],a[1][2]*arg.a[2][0]%P);updsum(ret.a[1][1],a[1][0]*arg.a[0][1]%P);updsum(ret.a[1][1],a[1][1]*arg.a[1][1]%P);updsum(ret.a[1][1],a[1][2]*arg.a[2][1]%P);updsum(ret.a[1][2],a[1][0]*arg.a[0][2]%P);updsum(ret.a[1][2],a[1][1]*arg.a[1][2]%P);updsum(ret.a[1][2],a[1][2]*arg.a[2][2]%P);updsum(ret.a[2][0],a[2][0]*arg.a[0][0]%P);updsum(ret.a[2][0],a[2][1]*arg.a[1][0]%P);updsum(ret.a[2][0],a[2][2]*arg.a[2][0]%P);updsum(ret.a[2][1],a[2][0]*arg.a[0][1]%P);updsum(ret.a[2][1],a[2][1]*arg.a[1][1]%P);updsum(ret.a[2][1],a[2][2]*arg.a[2][1]%P);updsum(ret.a[2][2],a[2][0]*arg.a[0][2]%P);updsum(ret.a[2][2],a[2][1]*arg.a[1][2]%P);updsum(ret.a[2][2],a[2][2]*arg.a[2][2]%P);return ret;} } trans[2]; char a[N+3]; struct SgTNode {Matrix x; bool inv; } sgt[(N<<2)+3]; void build(int u,int le,int ri) {if(le==ri) {sgt[u].x = trans[a[le]]; return;}int mid = (le+ri)>>1;build(u<<1,le,mid); build(u<<1|1,mid+1,ri);sgt[u].x = sgt[u<<1].x*sgt[u<<1|1].x; } void maketag(int u) {sgt[u].inv ^= 1;swap(sgt[u].x.a[0][0],sgt[u].x.a[0][1]);swap(sgt[u].x.a[1][0],sgt[u].x.a[1][1]);swap(sgt[u].x.a[2][0],sgt[u].x.a[2][1]);swap(sgt[u].x.a[0][0],sgt[u].x.a[1][0]);swap(sgt[u].x.a[0][1],sgt[u].x.a[1][1]);swap(sgt[u].x.a[0][2],sgt[u].x.a[1][2]); } void pushdown(int u) {if(sgt[u].inv){maketag(u<<1);maketag(u<<1|1);sgt[u].inv = 0;} } void inverse(int u,int le,int ri,int lb,int rb) {if(le>=lb && ri<=rb) {maketag(u); return;}pushdown(u);int mid = (le+ri)>>1;if(lb<=mid) {inverse(u<<1,le,mid,lb,rb);}if(rb>mid) {inverse(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb);}sgt[u].x = sgt[u<<1].x*sgt[u<<1|1].x; } Matrix queryprod(int u,int le,int ri,int lb,int rb) {if(le>=lb && ri<=rb) {return sgt[u].x;}pushdown(u);int mid = (le+ri)>>1; Matrix ret; ret.unitize();if(lb<=mid) {ret = ret*queryprod(u<<1,le,mid,lb,rb);}if(rb>mid) {ret = ret*queryprod(u<<1|1,mid+1,ri,lb,rb);}sgt[u].x = sgt[u<<1].x*sgt[u<<1|1].x;return ret; }int n,q;int main() {int T; scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&q);scanf("%s",a+1); for(int i=1; i<=n; i++) a[i] -= 48;trans[0].a[0][0] = 1; trans[0].a[0][1] = 1; trans[0].a[0][2] = 1; trans[0].a[1][1] = 1; trans[0].a[2][2] = 1;trans[1].a[0][0] = 1; trans[1].a[1][0] = 1; trans[1].a[1][1] = 1; trans[1].a[1][2] = 1; trans[1].a[2][2] = 1;build(1,1,n);for(int i=1; i<=q; i++){int opt,l,r; scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);if(opt==1){inverse(1,1,n,l,r);}else{Matrix ans = queryprod(1,1,n,l,r);printf("%lld\n",(ans.a[0][2]+ans.a[1][2])%P);}}memset(sgt,0,sizeof(sgt));}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU 6155 Subsequence Count (DP、线性代数、线段树)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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