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编程问答

20211104 为什么矩阵的迹等于特征值之和，为什么矩阵的行列式等于特征值之积

發(fā)布時(shí)間：2025/3/15 编程问答 33 豆豆

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為什么矩陣的跡等于特征值之和

求 $n$ 階矩陣 $A=(aij)n×n{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的特征值
$det?(λI?A)=∣λ?a11?a12…?a1n?a21λ?a22…?a2n…………?an1?an2…λ?ann∣\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1 n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \ldots & -a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \ldots & \lambda-a_{n n} \end{array}\right|$

由行列式的展開法則可得特征多項(xiàng)式
$φ(λ)=det?(λI?A)=λn?(a11+a22+?+am)λn?1+?+(?1)ndet?A\begin{aligned} \varphi(\lambda)& =\operatorname{det}(\lambda {I}-{A})\\ & =\lambda^{n}-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{m}\right) \lambda^{n-1}+ & \cdots+(-1)^{n} \operatorname{det} \boldsymbol{A} \end{aligned}$
同時(shí)， $det?(λI?A)\operatorname{det}(\lambda I-A)$ 有 $n\mathrm{n}$ 個(gè)根，它們就是 $n\mathrm{n}$ 個(gè)特征值，也就是說(shuō)
$det?(λI?A)=(λ?λ1)(λ?λ2)…(λ?λn)\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)$

那么，
$λ1λ2?λn=det?A\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=\operatorname{det} \boldsymbol{A}$
$tr?A=∑i=1naiu\operatorname{tr} \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{n} a_{i u}$
參考：
[1] https://www.zhihu.com/question/267405336
[2] 《矩陣論》程云鵬張凱院

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的20211104 为什么矩阵的迹等于特征值之和，为什么矩阵的行列式等于特征值之积的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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