2020-07-07 内模原理（The Internal Mode Principle）
內(nèi)模原理（The Internal Mode Principle，IMP）
在這份講義中，我們將熟悉內(nèi)模原理的概念。“內(nèi)模原理在調(diào)節(jié)器問題中起到至關(guān)重要的作用。內(nèi)模原理可以直觀地表達(dá)為：任何一個(gè)好的調(diào)節(jié)器都必須在閉環(huán)系統(tǒng)中構(gòu)造一個(gè)環(huán)境動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的模型”。
接下來，我們考慮圖1中的閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖。利用框圖基本方法可以得到
(圖1)
E(s)=R(s)?Gp(s)Gc(s)E(s)=11+Gp(s)Gc(s)R(s)\begin{aligned} E(s) &=R(s)-G_{p}(s) G_{c}(s) E(s) \\ &=\frac{1}{1+G_{p}(s) G_{c}(s)} R(s) \end{aligned}E(s)?=R(s)?Gp?(s)Gc?(s)E(s)=1+Gp?(s)Gc?(s)1?R(s)?
簡(jiǎn)單變換之后，可以得到
E(s)=Dp(s)Dc(s)Dp(s)Dc(s)+Np(s)Nc(s)Nr(s)Dr(s)E(s)=\frac{D_{p}(s) D_{c}(s)}{D_{p}(s) D_{c}(s)+N_{p}(s) N_{c}(s)} \frac{N_{r}(s)}{D_{r}(s)}E(s)=Dp?(s)Dc?(s)+Np?(s)Nc?(s)Dp?(s)Dc?(s)?Dr?(s)Nr?(s)?
我們的目標(biāo)是，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器Gc(s)=Nc(s)Dc(s)G_{c}(s)=\frac{N_{c}(s)}{D_{c}(s)}Gc?(s)=Dc?(s)Nc?(s)?使得
lim?t→∞e(t)=lim?t→∞(r(t)?c(t))=0\lim _{t \rightarrow \infty} e(t)=\lim _{t \rightarrow \infty}(r(t)-c(t))=0t→∞lim?e(t)=t→∞lim?(r(t)?c(t))=0
其中，e(t)e(t)e(t)是e(s)e(s)e(s)的拉普拉斯逆變換。
假設(shè)參考信號(hào)r(t)r(t)r(t)的拉普拉斯變換極點(diǎn)在右半平面上，即它們屬于集合{s:?(s)≥0}\{s: \Re(s) \geq 0\}{s:?(s)≥0}。那么多項(xiàng)式
Pc(s)=Dp(s)Dc(s)+Np(s)Nc(s)P_{c}(s)=D_{p}(s) D_{c}(s)+N_{p}(s) N_{c}(s)Pc?(s)=Dp?(s)Dc?(s)+Np?(s)Nc?(s)
是圖1中閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，閉環(huán)特征多項(xiàng)式零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。
下面的結(jié)論就是所謂的“內(nèi)模原理：”：
在圖1所示的構(gòu)型中，R(s)R(s)R(s)的極點(diǎn)是在右半平面，那么lim?t→∞e(t)=0\lim _{t \rightarrow \infty} e(t)=0t→∞lim?e(t)=0的充要條件是：
IMP的第二個(gè)條件是指，跟蹤控制器的選擇必須使開環(huán)傳遞函數(shù)Gp(s)Gc(s)G_{p}(s) G_{c}(s)Gp?(s)Gc?(s)包含要跟蹤的參考信號(hào)的模型。如果R(s)R(s)R(s)的極點(diǎn)不是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Gp(s)G_{p}(s)Gp?(s)的極點(diǎn)，那么我們可以將IMP重寫為：
任何好的跟蹤控制器都必須穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，并且必須包含參考信號(hào)的模型。
接下來舉兩個(gè)例子，以便更好地理解IMP。
Example 1
(圖2)
對(duì)于圖2所示的閉環(huán)系統(tǒng)，我們的目標(biāo)是構(gòu)造一個(gè)傳遞函數(shù)Gc(s)G_{c}(s)Gc?(s)，使lim?t→∞e(t)=0\lim _{t \rightarrow \infty} e(t)=0limt→∞?e(t)=0。誤差的拉普拉斯變換是
E(s)=11+1s+2Nc(s)Dc(s)1s=(s+2)Dc(s)(s+2)Dc(s)+Nc(s)1sE(s)=\frac{1}{1+\frac{1}{s+2} \frac{N_{c}(s)}{D_{c}(s)}} \frac{1}{s}=\frac{(s+2) D_{c}(s)}{(s+2) D_{c}(s)+N_{c}(s)} \frac{1}{s}E(s)=1+s+21?Dc?(s)Nc?(s)?1?s1?=(s+2)Dc?(s)+Nc?(s)(s+2)Dc?(s)?s1?
令Nc(s)=1N_{c}(s)=1Nc?(s)=1和Dc(s)=sD_{c}(s)=sDc?(s)=s，也就是說
Gc(s)=1sG_{c}(s)=\frac{1}{s}Gc?(s)=s1?
則可以得到
E(s)=(s+2)ss2+2s+11s=s+2s2+2s+1E(s)=\frac{(s+2) s}{s^{2}+2 s+1} \frac{1}{s}=\frac{s+2}{s^{2}+2 s+1}E(s)=s2+2s+1(s+2)s?s1?=s2+2s+1s+2?
很明顯，這里的積分器控制器可以實(shí)現(xiàn)lim?t→∞e(t)=0\lim _{t \rightarrow \infty} e(t)=0limt→∞?e(t)=0。
Example 2
（圖3）
圖2中把輸入信號(hào)改為斜坡信號(hào)，那么誤差信號(hào)的拉普拉斯變換為
E(s)=11+1s+2Nc(s)Dc(s)1s2=(s+2)Dc(s)(s+2)Dc(s)+Nc(s)1s2=s+2s2+2s+11s\begin{aligned} E(s) &=\frac{1}{1+\frac{1}{s+2} \frac{N_{c}(s)}{D_{c}(s)}} \frac{1}{s^{2}} \\ &=\frac{(s+2) D_{c}(s)}{(s+2) D_{c}(s)+N_{c}(s)} \frac{1}{s^{2}} \\ &=\frac{s+2}{s^{2}+2 s+1} \frac{1}{s} \end{aligned}E(s)?=1+s+21?Dc?(s)Nc?(s)?1?s21?=(s+2)Dc?(s)+Nc?(s)(s+2)Dc?(s)?s21?=s2+2s+1s+2?s1??
可以得到e(∞)=2e(\infty)=2e(∞)=2，因此一個(gè)積分器是不夠的，注意到Dr(s)D_{r}(s)Dr?(s)不是Dc(s)D_{c}(s)Dc?(s)的因子，然后我們嘗試一個(gè)控制器，滿足IMP的可整除性，如果我們?nèi)《胤e器，那么滿足可整除性條件，我們得到E(s)=s+2s3+2s2+1E(s)=\frac{s+2}{s^{3}+2 s^{2}+1}E(s)=s3+2s2+1s+2?
然而，可以看到右半平面的極點(diǎn)使得系統(tǒng)不再穩(wěn)定，也就是第一個(gè)條件不再滿足。
譯自：https://engineering.purdue.edu/~zak/ECE_382-Fall_2018/hand_3.pdf
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的2020-07-07 内模原理（The Internal Mode Principle）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： getplotlyoffline(‘ht
- 下一篇： Cauchy-Schwarz Inequ