1、如果我們要求一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)的個(gè)數(shù)會(huì)怎么去求呢？

首先想到最簡(jiǎn)單的方法就是暴力求解就可以。當(dāng)然數(shù)據(jù)小、或者測(cè)試數(shù)據(jù)少就很簡(jiǎn)單就可以過(guò)了。

2、如果求一個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)的所有因數(shù)的個(gè)數(shù)呢？或者求一個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)的因數(shù)最大的數(shù)以及最大的因數(shù)（正因數(shù)）的個(gè)數(shù)？

這樣的話，數(shù)據(jù)大一些，組數(shù)多一些，可能就要Tle，所以可以想到用唯一分解定理，但是那是適用于分解成素因數(shù)，要怎么轉(zhuǎn)化呢？

這就需要用到了約數(shù)個(gè)數(shù)定理。

約數(shù)個(gè)數(shù)定理

對(duì)于一個(gè)大于1正整數(shù)n可以分解質(zhì)因數(shù)：

???

則n的正約數(shù)的個(gè)數(shù)就是? ?

? ?。

其中a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3，…pk的指數(shù)。

（在證明上自己自行百度搜索就可以了。qwq）

3、如果我們需要求這個(gè)區(qū)間內(nèi)具有最大個(gè)數(shù)因數(shù)的這個(gè)數(shù)的所有因數(shù)之和怎么辦呢？

因?yàn)閯倓偸前此匾驍?shù)來(lái)分解的，如果只是加上相應(yīng)的次方數(shù)，肯定是不對(duì)的，那么要怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢，當(dāng)時(shí)想了好久，不過(guò)腦子笨，采用各種暴力，當(dāng)然也有成效，不過(guò)還是看看下面這個(gè)方法吧。

約數(shù)和定理

對(duì)于一個(gè)大于1正整數(shù)n可以分解質(zhì)因數(shù)：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,

則由約數(shù)個(gè)數(shù)定理可知n的正約數(shù)有(a?+1)(a?+1)(a?+1)…(ak+1)個(gè)，

那么n的(a?+1)(a?+1)(a?+1)…(ak+1)個(gè)正約數(shù)的和為

f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）。

這個(gè)公式蠻好理解，但是要怎么去實(shí)現(xiàn)呢？

先把素因子存起來(lái)，再把冪指數(shù)存起來(lái)，最后依次加上，這樣的方法當(dāng)然可以，但是總歸比較麻煩。

來(lái)看一下這個(gè)定理：設(shè)正整數(shù)n有素因子分解 n =（p1^α1）*（p2^α2）*（p3^α3）* ....... *（pk^αk），那么

? ? ? ? ? ?所有因數(shù)和? σ（n）=[（p1^α1）-1 ] /（p1-1） * [（p2^α2）-1 ] / （p2-1） * .....? *[（pk^αk）-1 ]/（pk-1)

那么在每次遍歷到該因數(shù)數(shù)，直接算一下累加起來(lái)就可以了。

代碼板子回來(lái)再寫(xiě)QAQ.

參考文獻(xiàn)：百度百科等網(wǎng)絡(luò)資料加上自己理解。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的约数个数定理约数和定理的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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