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　　對一個數是n否為素數的判斷可以從2到根號n依次去除n，如果n能被其中一個整除則說明n不是素數，否則n是素數。還可以用厄拉多塞篩法，采用構造素數表的方式，從2起，依次列出后續數字，如果某個數是前面數字的倍數，則從表中刪除，即刪掉所有素數的倍數，最后得到的表就是一個全是素數的表。用于程序實現的話，可以設置一個棧，初始時棧內只有一個元素2，令從3起依次累加，并判斷如果i不是棧內任何一個數的倍數，則令i進棧，否則繼續循環，直到達到要求為止。
???????以上兩種方式對于較小的數的判斷還可以使用，但是當數字達到很大的時候，這兩種方式的效率都會很低，因而我們要尋求更快的判斷一個數是否為素數的方式。首先看幾個定理：

定理：設n>1是一個奇數，如果對于n-1的每一個素因子q存在一個整數a使得下式成立，則n為素數：
a^(n-1)≡1 (mod n)
a^((n-1)/q)≠1 (mod n)
費馬小定理：若p是素數，則對于任意的正整數a≠0(mod p)，有
a^(p-1)≡1(mod p)
素數重要性質： a^((p-1)/2)≡ (a/p)(mod p)，其中p是素數，(a/p) 是雅可比符號

根據以上定理我們可以得到一些素性判定的效率較高的方法。下面介紹三種：
Fermat素性測試，Lehmann素性測試和Solovay-Strassen 素性測試。

第一種，Fermat素性測試：
算法Fermat(n,t)，其中n>2為奇數, t為測試次數.
1) 對 i 從1 到 t 做如下循環：
??1.1) 隨機選擇 a，1<a<n-1；
??1.2) 計算d=gcd(a,n),如果d>1，則返回“合數”。否則
??1.3) 計算 r ≡ a ^(n-1) (mod n)；
??1.4) 若r≠1 ，則返回“合數”。
2) 返回“素數”。
算法主要應用了費馬小定理，但a^(p-1)≡1(mod p)僅是素數的必要條件。上述算法將一個合數判斷為素數的出錯概率為1/2^t，但是返回合數的判定總是對的。只要增加測試次數t，就可以把出錯概率降至趨近于0。

第二種，Lehmann素性測試：
1) 對i從1到t 做如下循環：
1.1)選擇一個小于n的隨機數b；
1.2) 計算b^((n-1)/2) mod n；
1.3) 如果b^((n-1)/2)≠1或-1，那么返回合數；（n肯定不是素數）
2) 返回素數。（n不是素數的可能性至多是50%）
算法主要運用了上面提到的第一條定理，2是素數且是n-1的素因子，在這里代替了q。

第三種，Solovay-Strassen 素性測試
1) 對i從1到t 做如下循環：
??1.1) 選擇一個小于n的隨機數b；
??1.2) 計算j≡b^((n-1)/2) mod n；
??1.3) 如果j≠1或－1,則返回n不是素數；
??1.4) 計算Jacobi符號J(b,n)=(b/n)；
??1.5) 如果 j≠(b/n)，返回n不是素數。
2) 返回n是素數
算法中的1.3同樣使用了第一條定理判斷出合數。而后又用素數性質加強了判斷，所以這一測試準確度更高。

???????三種算法都存在關鍵性一步就是計算某個數的冪次模n值，如Fermat素性測試中，計算計算 r ≡ a ^(n-1) (mod n)，如果采用對a逐次去計算的方式，時間復雜度是O(n)，還不如開始說的兩種算法。所以要想得到高效的素性判定算法，就要對這一步進行優化。
???????逐次計算的一個缺點是，沒有充分利用每次循環中已得到的信息。進而可以想到，如果能像人工計算時一樣，記錄下a^2 mod n, a^4 mod n,……，每次計算時根據需求選用這些已得到的值，比如計算a^254 mod 255。算出a^2 mod 255, a^4 mod 255,……,a^128 mod 255，就可以根據已算得的結果計算a^254 mod 255=a^128*a^64*a^32*a^16*a^8*a^4*a^2 mod 255，充分利用了已有信息。
??????于是一個自然的想法就是，首先循環一遍把a^i mod n的值記錄在一個表中，其中i是2的冪次，然后求出n-1的二進制表示由低位到高位存儲在數組中，r初始時為1，遍歷數組，某位為1時則把表中對應位置的a^i mod n乘以r的值賦值給r，這樣循環一遍后即得到了a^(n-1)mod n的值，速度大大提高。原來計算a^64需要64次，改進后只需計算a^2,a^4, a^8,a^16,a^32,a^64 mod n共6次即可，并且經過這6次計算，a的1~64次方模n都可被計算出來，多次測試中均可使用，即使對很大的測試次數也有很高效率。對于long long 型數據，最大只需循環64次即可。時間復雜度由O(n)降到了O(logn)。
????????這一步實現了，其他細節只需要稍加調試即可，這里僅給出Solovay-Strassen 素性測試的代碼。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define MAX_TIME 11111
#define DATA_TYPE long long
bool Solovay_Strassen (DATA_TYPE n,int t);
int Jacobi(DATA_TYPE a,DATA_TYPE n);
DATA_TYPE ComputeR(DATA_TYPE a,DATA_TYPE k,DATA_TYPE n);//計算r=a^k mod n
int DecToBin(DATA_TYPE num,int a[]); //十進制轉化成二進制，返回二進制位數
int main()
{
????????DATA_TYPE n;
????????while(1)
????????{
????????????????printf("請輸入要判斷的數：\n");
????????????????scanf("%lld",&n);
????????????????if(n<=1||(n>2&&n%2==0)||!Solovay_Strassen(n,n>MAX_TIME?MAX_TIME:n-2))
????????????????????????printf("%lld不是素數\n",n);
????????????????else
????????????????????????printf("%lld是素數\n",n);
????????????????printf("\n");
????????}
????????return 0;
}
bool Solovay_Strassen (DATA_TYPE n,int t)
{
????????int i;
????????DATA_TYPE Rand_Num,r,jac;
????????srand((unsigned int)time(NULL));
????????for(i=0;i<t;i++)
????????{
????????????????//注釋起來這一段用來判斷是否有隨機數重復，如重復則重新生成，在n足夠大時，這一段理論上可以忽略
/* DATA_TYPE Choosed[MAX_TIME]; //記錄已選的隨機數
????????????????bool flag; //標記是否有重復
????????????????do
????????????????{
????????????????????????flag=0;
????????????????????????do
????????????????????????{
????????????????????????????????Rand_Num=rand()%n;
????????????????????????}while(Rand_Num<=1||Rand_Num>n-1);
????????????????????????for(int j=0;j<i;j++)
????????????????????????{
????????????????????????????????if(Rand_Num==Choosed[j]) //已選擇過
????????????????????????????????{
????????????????????????????????????????flag=1; //置標記位為1
????????????????????????????????????????break;
????????????????????????????????}
????????????????????????}
????????????????}while(flag);
????????????????Choosed[i]=Rand_Num;*/
????????????????do
????????????????{
????????????????????????Rand_Num=rand()%n;
????????????????}while(Rand_Num<=1||Rand_Num>n-1);
????????????????r=ComputeR(Rand_Num,(n-1)/2,n);
????????????????if(!(1==r ||r==n-1))
????????????????????????return 0;
????????????????jac=Jacobi(Rand_Num,n);
????????????????if(jac<0)
????????????????????????jac=n+jac;
????????????????if(r!=jac)
????????????????????????return 0;
????????}
????????return 1;
}

int Jacobi(DATA_TYPE a,DATA_TYPE n)
{
????????DATA_TYPE temp,e=0,a1,n1;
????????int s;
????????if(0==a ||1== a)
????????????????return 1;
????????temp=a;
????????while(temp%2==0)
????????{
????????????????temp/=2;
????????????????e++;
????????}
????????a1=temp;
????????if(0== e%2)
????????????????s=1;
????????else
????????{
????????????????if(1== n%8||7== n%8)
????????????????????????s=1;
????????????????else if(3== n%8|| 5== n%8)
????????????????????????s=-1;
????????}
????????if(3== n%4&&3== a1%4)
????????????????s=-s;
????????n1=n%a1;
????????if(1== a1)
????????????????return s;
????????else
????????????????return s*Jacobi(n1,a1);
}

int DecToBin(DATA_TYPE num,int a[]) //十進制轉化成二進制，返回二進制位數
{
????????int BitNum;
????????for(BitNum=0;num;BitNum++)
????????{
????????????????if(0==num%2)
????????????????????????a[BitNum]=0;
????????????????else
????????????????????????a[BitNum]=1;
????????????????num/=2;
????????}
????????return BitNum;
}

DATA_TYPE ComputeR(DATA_TYPE a,DATA_TYPE k,DATA_TYPE n)
{
????????DATA_TYPE tmp;
????????DATA_TYPE Power[8*sizeof(DATA_TYPE)]={0};
????????int i,BitNum;
????????int Bin[8*sizeof(DATA_TYPE)]={0};
????????BitNum=DecToBin(k,Bin); //將n-1轉換成二進制，二進制位數賦給BitNum
????????tmp=a;
????????Power[0]=tmp;
????????for(i=1;i<BitNum;i++)
????????{
????????????????tmp=(tmp*tmp)%n;
????????????????Power[i]=tmp;
????????}
????????for(i=0,tmp=0;i<BitNum;i++)
????????{
????????????????if(Bin[i]==1)
????????????????{
????????????????????????if(0==tmp) tmp=1;
????????????????????????tmp=(tmp*Power[i])%n;
????????????????}
????????}
????????return tmp;
}

轉載于:https://www.cnblogs.com/leo0000/p/5720244.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的转载 素性测试的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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