數據科學家們常說，所有的模型都是錯的，但是，其中一些是有用的。如果一個“有用”的模型能夠過濾掉數據中哪些不重要的細枝末節，抓住其主要的內在關系，從而幫助我們更好地理解數據。很多情況下，線性回歸就是這樣一個“有用”模型，本篇我們從機器學習以及統計學兩個角度去探索《線性回歸》。以下內容來自于筆者閱讀各類數據科學相關書籍的讀書摘錄筆記，希望能夠對數據分析行業從業者起到點滴幫助，由于筆者水平能力有限，整理的不妥之處請各位大佬批評指正！如涉版權問題請及時聯系刪除，謝謝！歡迎轉發分享學習！——2019年12月15日

目錄

• 數據科學概述
• 數學基礎：線代、概率論、微積分
• 線性回歸
• 邏輯回歸
• 算法的求解
• 計量經濟學的啟示
• 監督學習
• 無監督學習
• 生成式模型
• 分布式機器學習
• 神經網絡與深度學習
• Python利器：Pandas、StatsModel、Sklearn、Tensorflow、XGBoost、Pyspark
• 特征工程：滑動窗口、時域特征、頻域特征

線性回歸概述

從初中學過的二元一次方程看起，因變量與自變量的關系可以用一條直線表示（這就是“線性”的含義）

我們所謂的建模過程，其實就是找到一個模型，最大程度的擬合我們的數據。 在簡單線回歸問題中，模型就是我們的直線方程：y = ax + b 。

數學函數理論的世界是精確的：代入一個自變量就能得到唯一的因變量。但現實世界中的數據就像這個散點圖，我們只能盡可能地在雜亂中尋找規律。用數學的模型去擬合現實的數據，這就是統計。統計不像數學那么精確，統計的世界不是非黑即白的，它有“灰色地帶”，但是統計會將理論與實際間的差別表示出來，也就是“誤差”。因此，統計世界中的公式會有一個小尾巴 ，用來代表誤差，即：

損失函數

要想最大的擬合數據，本質上就是找到沒有擬合的部分，也就是損失的部分盡量小，就是損失函數（loss function）（也有算法是衡量擬合的程度，稱函數為效用函數（utility function））：

因此，推導思路為：

通過分析問題，確定問題的損失函數或者效用函數；然后通過最優化損失函數或者效用函數，獲得機器學習的模型

近乎所有參數學習算法都是這樣的套路，區別是模型不同，建立的目標函數不同，優化的方式也不同。

回到簡單線性回歸問題，目標：已知訓練數據樣本

、

，找到

和

的值，使

盡可能小

這是一個典型的最小二乘法問題（最小化誤差的平方）

通過最小二乘法可以求出a、b的表達式：

在機器學習中，所有的算法模型其實都依賴于最小化或最大化某一個函數，我們稱之為“目標函數”。

最小化的這組函數被稱為“損失函數”。什么是損失函數呢？

損失函數描述了單個樣本預測值和真實值之間誤差的程度。用來度量模型一次預測的好壞。

損失函數是衡量預測模型預測期望結果表現的指標。損失函數越小，模型的魯棒性越好。。

常用損失函數有：

0-1損失函數：用來表述分類問題，當預測分類錯誤時，損失函數值為1，正確為0

平方損失函數：用來描述回歸問題，用來表示連續性變量，為預測值與真實值差值的平方。（誤差值越大、懲罰力度越強，也就是對差值敏感）

絕對損失函數：用在回歸模型，用距離的絕對值來衡量

對數損失函數：是預測值Y和條件概率之間的衡量。事實上，該損失函數用到了極大似然估計的思想。P(Y|X)通俗的解釋就是：在當前模型的基礎上，對于樣本X，其預測值為Y，也就是預測正確的概率。由于概率之間的同時滿足需要使用乘法，為了將其轉化為加法，我們將其取對數。最后由于是損失函數，所以預測正確的概率越高，其損失值應該是越小，因此再加個負號取個反。

以上損失函數是針對于單個樣本的，但是一個訓練數據集中存在N個樣本，N個樣本給出N個損失，如何進行選擇呢？

這就引出了風險函數。

期望風險

期望風險是損失函數的期望，用來表達理論上模型f(X)關于聯合分布P(X,Y)的平均意義下的損失。又叫期望損失/風險函數。

經驗風險

模型f(X)關于訓練數據集的平均損失，稱為經驗風險或經驗損失。

其公式含義為：模型關于訓練集的平均損失（每個樣本的損失加起來，然后平均一下）

經驗風險最小的模型為最優模型。在訓練集上最小經驗風險最小，也就意味著預測值和真實值盡可能接近，模型的效果越好。公式含義為取訓練樣本集中對數損失函數平均值的最小。

經驗風險最小化和結構風險最小化

期望風險是模型關于聯合分布的期望損失，經驗風險是模型關于訓練樣本數據集的平均損失。根據大數定律，當樣本容量N趨于無窮時，經驗風險趨于期望風險。

因此很自然地想到用經驗風險去估計期望風險。但是由于訓練樣本個數有限，可能會出現過度擬合的問題，即決策函數對于訓練集幾乎全部擬合，但是對于測試集擬合效果過差。因此需要對其進行矯正：

結構風險最小化：當樣本容量不大的時候，經驗風險最小化容易產生“過擬合”的問題，為了“減緩”過擬合問題，提出了結構風險最小理論。結構風險最小化為經驗風險與復雜度同時較小。

通過公式可以看出，結構風險：在經驗風險上加上一個正則化項(regularizer)，或者叫做罰項(penalty) 。正則化項是J(f)是函數的復雜度再乘一個權重系數（用以權衡經驗風險和復雜度）

損失函數：單個樣本預測值和真實值之間誤差的程度。

期望風險：是損失函數的期望，理論上模型f(X)關于聯合分布P(X,Y)的平均意義下的損失。

經驗風險：模型關于訓練集的平均損失（每個樣本的損失加起來，然后平均一下）。

結構風險：在經驗風險上加上一個正則化項，防止過擬合的策略。

從機器學習的角度看

整體上的步驟可以概括為：

確定問題場景類型

提取特征

根據模型形式估計參數

評估模型效果

代碼實踐

# -*- coding: UTF-8 -*- """ 此腳本用于展示使用sklearn搭建線性回歸模型 """import os import sysimport numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd from sklearn import linear_modeldef evaluateModel(model, testData, features, labels):"""計算線性模型的均方差和決定系數參數----model : LinearRegression, 訓練完成的線性模型testData : DataFrame，測試數據features : list[str]，特征名列表labels : list[str]，標簽名列表返回----error : np.float64，均方差score : np.float64，決定系數"""# 均方差(The mean squared error)，均方差越小越好error = np.mean((model.predict(testData[features]) - testData[labels]) ** 2)# 決定系數(Coefficient of determination)，決定系數越接近1越好score = model.score(testData[features], testData[labels])return error, scoredef visualizeModel(model, data, features, labels, error, score):"""模型可視化"""# 為在Matplotlib中顯示中文，設置特殊字體plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']# 創建一個圖形框fig = plt.figure(figsize=(6, 6), dpi=80)# 在圖形框里只畫一幅圖ax = fig.add_subplot(111)# 在Matplotlib中顯示中文，需要使用unicode# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.set_title(u'%s' % "線性回歸示例")else:ax.set_title(u'%s' % "線性回歸示例".decode("utf-8"))ax.set_xlabel('$x$')ax.set_ylabel('$y$')# 畫點圖，用藍色圓點表示原始數據# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.scatter(data[features], data[labels], color='b',label=u'%s: $y = x + epsilon$' % "真實值")else:ax.scatter(data[features], data[labels], color='b',label=u'%s: $y = x + epsilon$' % "真實值".decode("utf-8"))# 根據截距的正負，打印不同的標簽if model.intercept_ > 0:# 畫線圖，用紅色線條表示模型結果# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ + %.3f'% ("預測值", model.coef_, model.intercept_))else:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ + %.3f'% ("預測值".decode("utf-8"), model.coef_, model.intercept_))else:# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ - %.3f'% ("預測值", model.coef_, abs(model.intercept_)))else:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ - %.3f'% ("預測值".decode("utf-8"), model.coef_, abs(model.intercept_)))legend = plt.legend(shadow=True)legend.get_frame().set_facecolor('#6F93AE')# 顯示均方差和決定系數# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.text(0.99, 0.01, u'%s%.3fn%s%.3f'% ("均方差：", error, "決定系數：", score),style='italic', verticalalignment='bottom', horizontalalignment='right',transform=ax.transAxes, color='m', fontsize=13)else:ax.text(0.99, 0.01, u'%s%.3fn%s%.3f'% ("均方差：".decode("utf-8"), error, "決定系數：".decode("utf-8"), score),style='italic', verticalalignment='bottom', horizontalalignment='right',transform=ax.transAxes, color='m', fontsize=13)# 展示上面所畫的圖片。圖片將阻斷程序的運行，直至所有的圖片被關閉# 在Python shell里面，可以設置參數"block=False"，使阻斷失效。plt.show()def trainModel(trainData, features, labels):"""利用訓練數據，估計模型參數參數----trainData : DataFrame，訓練數據集，包含特征和標簽features : 特征名列表labels : 標簽名列表返回----model : LinearRegression, 訓練好的線性模型"""# 創建一個線性回歸模型model = linear_model.LinearRegression()# 訓練模型，估計模型參數model.fit(trainData[features], trainData[labels])return modeldef linearModel(data):"""線性回歸模型建模步驟展示參數----data : DataFrame，建模數據"""features = ["x"]labels = ["y"]# 劃分訓練集和測試集trainData = data[:15]testData = data[15:]# 產生并訓練模型model = trainModel(trainData, features, labels)# 評價模型效果error, score = evaluateModel(model, testData, features, labels)# 圖形化模型結果visualizeModel(model, data, features, labels, error, score)def readData(path):"""使用pandas讀取數據"""data = pd.read_csv(path)return dataif __name__ == "__main__":homePath = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))# Windows下的存儲路徑與Linux并不相同if os.name == "nt":dataPath = "%sdatasimple_example.csv" % homePathelse:dataPath = "%s/data/simple_example.csv" % homePathdata = readData(dataPath)linea

從統計學的角度看

整體上的步驟可以概括為：

假設條件概率

估計參數

推導參數的分布

假設檢驗與置信區間

""" 此腳本用于如何使用統計方法解決模型幻覺 """# 保證腳本與Python3兼容 from __future__ import print_functionimport osimport numpy as np import statsmodels.api as sm import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pddef generateRandomVar():""""""np.random.seed(4873)return np.random.randint(2, size=20) def evaluateModel(res):"""分析線性回歸模型的統計性質"""# 整體統計分析結果print(res.summary())# 用f test檢測x對應的系數a是否顯著print("檢驗假設z的系數等于0：")print(res.f_test("z=0"))# 用f test檢測常量b是否顯著print("檢測假設const的系數等于0：")print(res.f_test("const=0"))# 用f test檢測a=1, b=0同時成立的顯著性print("檢測假設z和const的系數同時等于0：")print(res.f_test(["z=0", "const=0"]))def trainModel(X, Y):"""訓練模型"""model = sm.OLS(Y, X)res = model.fit()return resdef confidenceInterval(data):""""""features = ["x"]labels = ["y"]Y = data[labels]_X = data[features]# 加入新的隨機變量，次變量的系數應為0_X["z"] = generateRandomVar()# 加入常量變量X = sm.add_constant(_X)res = trainModel(X, Y)evaluateModel(res)def generateData():"""生成模型數據"""np.random.seed(5320)x = np.array(range(0, 20)) / 2error = np.round(np.random.randn(20), 2)y = 0.05 * x + error# 新加入的無關變量z恒等于1z = np.zeros(20) + 1return pd.DataFrame({"x": x, "z": z, "y": y})def wrongCoef():"""由于新變量的加入，正效應變為負效應"""features = ["x", "z"]labels = ["y"]data = generateData()X = data[features]Y = data[labels]# 沒有多余變量時，x系數符號估計正確，為正model = sm.OLS(Y, X["x"])res = model.fit()print("沒有加入新變量時：")print(res.summary())# 加入多余變量時，x系數符號估計錯誤，為負model1 = sm.OLS(Y, X)res1 = model1.fit()print("加入新變量后：")print(res1.summary())def readData(path):"""使用pandas讀取數據"""data = pd.read_csv(path)return dataif __name__ == "__main__":homePath = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))# Windows下的存儲路徑與Linux并不相同if os.name == "nt":dataPath = "%sdatasimple_example.csv" % homePathelse:dataPath = "%s/data/simple_example.csv" % homePathdata = readData(dataPath)print("***************************************************")# 在Windows下運行此腳本需確保Windows下的命令提示符(cmd)能顯示中文print("加入不相關的新變量，新變量的系數被錯誤估計為不等于0")print("***************************************************")confidenceInterval(data)print("**********************************************")print("加入不相關的新變量，舊變量系數的符號被錯誤估計")print("**********************************************

關注公眾號“格數致知”（ID:Data_SCI）回復“數據科學3”獲取本文的pdf版本

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性回归csv数据集_数据科学的基石：统计学、机器学习、计算机科学（三）——线性回归...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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