問題描述:

?????? 給定一個十進制整數N,求出從1到N的所有整數中出現”1”的個數。?

????? 例如：N=2，1,2出現了1個“1”。

???????? ?? N=12，1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出現了5個“1”。

問題求解：

解法一：

???????最直接的方法就是從1開始遍歷到N，將其中每一個數中含有“1”的個數加起來，就得到了問題的解。

???? ?代碼如下：

public long CountOne3(long n)
? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? long i = 0,j = 1;
? ? ? ? ? ? long count = 0;
? ? ? ? ? ? for (i = 0; i <= n; i++)
? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? j = i;
? ? ? ? ? ? ? ? while (j != 0)
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? if (j % 10 == 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count++;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j = j / 10;
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? return count;
? ? ? ? }

此方法簡單，容易理解，但它的問題是效率，時間復雜度為O（N * lgN），N比較大的時候，需要耗費很長的時間。

解法二：

?????????我們重新分析下這個問題，對于任意一個個位數n，只要n>=1,它就包含一個“1”；n<1，即n=0時，則包含的“1”的個數為0。于是我們考慮用分治的思想將任意一個n位數不斷縮小規模分解成許多個個位數，這樣求解就很方便。

??????? 但是，我們該如何降低規模？仔細分析，我們會發現，任意一個n位數中“1”的個位可以分解為兩個n-1位數中“1”的個數的和加上一個與最高位數相關的常數C。例如，f(12) = f(10 - 1) + f(12 - 10) + 3,其中3是表示最高位為1的數字個數，這里就是10,11,12；f(132)=f(100 -1) + f(132 - 100) + 33，33代表最高位為1的數字的個數，這里就是100~132；f(232) = 2*f(100 - 1) + f(32) + 100，因為232大于199，所以它包括了所有最高位為1的數字即100~199，共100個。

??????? 綜上，我們分析得出，最后加的常數C只跟最高位n1是否為1有關，當最高位為1時，常數C為原數字N去掉最高位后剩下的數字+1，當最高位為1時，常數C為10bit，其中bit為N的位數-1，如N=12時，bit=1，N=232時，bit=2。

?????? 于是，我們可以列出遞歸方程如下：

?????? if(n1 == 1)

?????????? f(n) = f(10bit-1) + f(n - 10bit)? + n - 10bit+ 1;

?????? else

?????????? f(n) = n1*f(10bit-1) + f(n – n1*10bit) + 10bit;

?????? 遞歸的出口條件為：

?????? if(1<n<10)? return 1;

????? ?else if (n == 0) return 0;

?????? 基于此，編寫如下代碼：

???

public long CountOne(long n)
? ? ? ? {?
? ? ? ? ? ? long count = 0;
? ? ? ? ? ? if (n == 0)
? ? ? ? ? ? ? ? count = 0;
? ? ? ? ? ? else if (n > 1 && n < 10)
? ? ? ? ? ? ? ? count = ?1;
? ? ? ? ? ? else
? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? long highest = n;//表示最高位的數字
? ? ? ? ? ? ? ? ?int bit = 0;
? ? ? ? ? ? ? ? while (highest >= 10)
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? highest = highest / 10;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? bit++;
? ? ? ? ? ? ? ? }

? ? ? ? ? ? ? ? int weight = (int)Math.Pow(10, bit);//代表最高位的權重，即最高位一個1代表的大小
? ? ? ? ? ? ? ? ?if (highest == 1)
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = CountOne(weight - 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + CountOne(n - weight)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + n - weight + 1;
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? ? ? else
? ? ? ? ? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = highest * CountOne(weight - 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + CountOne(n - highest * weight)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + weight;
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? return count;
? ? ? ? }

此算法的優點是不用遍歷1~N就可以得到f(N)。經過我測試，此算法的運算速度比解法一快了許多許多，數字在1010內時，算法都可以在毫秒級內結束，而解法一在計算109時，時間超過了5分鐘。但此算法有一個顯著的缺點就是當數字超過1010時會導致堆棧溢出，無法計算。

??????? 還有就是，我嘗試了許久也沒有計算出此算法的時間復雜度到底是多少，似乎是O（lg2N），我并不確定，希望知道的高手能給予解答。

?

解法三：

??????? ?解法二告訴我們1~ N中“1”的個數跟最高位有關，那我們換個角度思考，給定一個N，我們分析1~N中的數在每一位上出現1的次數的和，看看每一位上“1”出現的個數的和由什么決定。

???????1位數的情況：

?????? 在解法二中已經分析過，大于等于1的時候，有1個，小于1就沒有。

???????2位數的情況：

?????? N=13,個位數出現的1的次數為2，分別為1和11，十位數出現1的次數為4，分別為10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

?????? N=23,個位數出現的1的次數為3，分別為1，11，21，十位數出現1的次數為10，分別為10~19，f(N)=3+10。

?????? 由此我們發現，個位數出現1的次數不僅和個位數有關，和十位數也有關，如果個位數大于等于1，則個位數出現1的次數為十位數的數字加1；如果個位數為0，個位數出現1的次數等于十位數數字。而十位數上出現1的次數也不僅和十位數相關，也和個位數相關：如果十位數字等于1，則十位數上出現1的次數為個位數的數字加1，假如十位數大于1，則十位數上出現1的次數為10。

???????3位數的情況:

?????? N=123

?????? 個位出現1的個數為13:1,11,21，…，91,101,111,121

?????? 十位出現1的個數為20:10~19,110~119

?????? 百位出現1的個數為24:100~123

???????我們可以繼續分析4位數，5位數，推導出下面一般情況：?

?????? 假設N，我們要計算百位上出現1的次數，將由三部分決定：百位上的數字，百位以上的數字，百位一下的數字。

?????? 如果百位上的數字為0，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12013，百位出現1的情況為100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個。等于更高位數字乘以當前位數，即12 * 100。

?????? 如果百位上的數字大于1，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12213，百位出現1的情況為100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300個。等于更高位數字加1乘以當前位數，即（12 + 1）*100。

????????如果百位上的數字為1，則百位上出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響。例如12113，受高位影響出現1的情況：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個，但它還受低位影響，出現1的情況是12100~12113，共114個，等于低位數字113+1。

?????? 綜合以上分析，寫出如下代碼：

public long CountOne2(long n)
? ? ? ? {
? ? ? ? ? ? long count = 0;
? ? ? ? ? ? long i = 1;
? ? ? ? ? ? long current = 0,after = 0,before = 0;
? ? ? ? ? ? while((n / i) != 0)
? ? ? ? ? ? { ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? current = (n / i) % 10;
? ? ? ? ? ? ? ? before = n / (i * 10);
? ? ? ? ? ? ? ? after = n - (n / i) * i;

? ? ? ? ? ? ? ? if (current > 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = count + (before + 1) * i;
? ? ? ? ? ? ? ? else if (current == 0)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = count + before * i;
? ? ? ? ? ? ? ? else if(current == 1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? count = count + before * i + after + 1;

? ? ? ? ? ? ? ? i = i * 10;
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? return count;
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? }

?此算法的時間復雜度僅為O(lgN)，且沒有遞歸保存現場的消耗和堆棧溢出的問題。

???? 不知道各位看官是否還有更高效的算法拿出來分享呢？

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的编程之美系列之三——计算1的个数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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