本篇幅是關于大部分不定積分計算的總結。

該部分內容會涉及到某些三角函數的知識，大家有空的時候去看下我之前的文章。

山城門徒：高中三角函數公式推理&記憶?zhuanlan.zhihu.com

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圖1 分割線內容概要

★不定積分的相關概念

★常用不定積分公式

★常用不定積分計算方法

★結束語

以下內容中，重點地方和公式推理會用黑體加以呈現；部分重要說明用斜體加以區別。

不定積分的相關概念

一、原函數與不定積分

設函數

定義在某區間Ⅰ上若存在可導函數，對于該區間上任意一點都有 成立，則稱是 在區間Ⅰ上的一個原函數。

于是稱

= 為 在區間Ⅰ上的不定積分，其中C為任意常數(后面不再強調)。

PS：談到函數

的原函數和不定積分，必須指明所在定義的區間。

二、原函數與不定積分的區別

我們通過對概念的說明去加以區別。

1.原函數：若

在區間Ⅰ上有原函數，則就有無限多個原函數，且任意兩個原函數之間僅相差一個常數。

所以

的全體原函數所構成的集合為

2.不定積分：設

,是在區間Ⅰ上的原函數，雖有= 和=，但=不一定成立，因為常數C一般是不相同的。

由此可見，二者在概念上存在較大的差異：前者是個無限集，后者是前者中的一個元素。

三、不定積分與微分的關系

口訣：先積后微，形式不變；先微后積，相差一個常數。

1.

或 (先積后微，形式不變)

2.

或 (先微后積，相差個常數)常用不定積分公式(基本積分公式)

這一板塊灰常重要！！ It's important↓↓↓

1-① :

( 是常數)；

1-②:

(

)，當取、 、-2時可得到常用的結論。

圖1 1-②常用結論

1-③:

;

1-④:

; ();

1-⑤:

; ;

; ;

1-⑥:

1-⑦:

; ;

1-⑧:

; ;

1-⑨:

(

);

();

1-⑩:

(

);

();

1-?:

(

);

();

PS:我們可以得出兩個很重要的求導公式

※

※：

(

);

1-?:

;

;

1-?:

;

;

;

；

補充幾個有用的：

1-?：

這些不定積分請大家熟悉在心，戀戀不忘，必有回響！

常用不定積分計算方法

這一個板塊將為大家呈現常用的計算方法，也是做題的基本依據。部分內容引用自數分、高數18講。

一、湊微分法(第一類換元積分)

1.基本思想:

,

2.說明：當被積函數有一部分比較復雜時，我們可以通過觀察把某些函數放到d的后面(放在d后面的函數會發生變化)，使得d后面的函數與前面復雜的被積函數具有相似的結構，最后運用基本積分公式將其求出(若不能求出的話則進一步運用其它方法求出)。

3.舉例說明

⑴、計算：

通過觀察我們發現

這部分較復雜，且 ,我們發現將進行積分后的函數與前面復雜的函數具有相似的結構(都有),最后運用基本積分公式求出(當然這里湊微分時要湊成 ，然后不定積分前乘即可)。

解：原式

⑵、計算：

(數學分析例題)

這種類型積分比較復雜，直接給大家說明，這種不定積分湊

比較合適，最常見的方法是三角代換(第二類換元積分將會陳述)。

解：原式

(根式提個x出來，便于湊)

(湊微分)

(根式提個3出來，使得2次項系數為1)

(分母湊完全平方)

(基本積分1-⑩)

PS:湊微分時加不加常數無影響，即

第一類換元法實質上是求復合函數導數的逆過程！

4.常見湊微分公式總結

2-①：

( )

2-②：

( )

2-③：

( )

2-④：

2-⑤：

2-⑥：

2-⑦：

( )

2-⑧：

2-⑨：

2-⑩：

2-?：

二、換元法(第二類換元積分)

1.基本思想:

,

2.說明:當被積函數比較復雜時，可以通過換元的方法從d后面的函數放一部分到前面來，使其更容易積分。

3.舉例說明：

⑴、計算：

通過觀察發現分母是

的形式，于是想到三角代換( )。

解：令

，則

于是原式

PS:

，其中

然后畫一個三角形(剛才令的

，畫草圖的時候對邊為x，鄰邊為1，角度為u)

圖2 輔助三角形

由三角形可以得到

; ,代入上式得

下面這道題還是用剛才那一道來舉例：

⑵、計算：

解:原式：

(想到: )

(令 )

(用萬能代換—— ，具體內容見總結⑤)

(基本積分1-⑨)

由

可知，，畫出輔助三角形

圖3 輔助三角形

由三角形可以得到

根據公式

,將sinu、cosu的表達式代入上式得

4.總結常見的換元方法(部分引用18講)

①三角函數代換——當被積函數含有以下根式時，可以用三角代換，這里a>0

圖4 三角代換法則

PS：某些根式

,可通過配方后恒等變形化為以下三種模型。

、、 (比如:)

②根式代換——當被積函數含有

、 、 等時，一般令 (有時候根號很難去掉)

例、計算

(同濟教材習題4-4，NO.23)

解法一：令

,則

原式

(公式1-⑨ 、?)

當然，本題也可以這樣來處理。

解法二：原式

令

原式

根據三角代換得，

原式

若被積函數中即含有

,又含有 的結構，令 ( 為m、n的最小公倍數 )

例、計算

(同濟教材習題4-4，NO.22)

解：首先觀察被積函數中即含有

(2次根),又含有 (4次根)的結構，則最小公倍數為4，

于是令

( )。

原式

(技巧)

③倒代換——在被積函數中，分母的次數比分子的次數高2次及以上時(不是所有都行得通)，可令

。

例、計算：

解：宏觀的看，分母次數高于分子次數，令

。

原式

④其它代換——若被積函數中含有

、、、等之類時，可以把這些函數令為t。若、、與 或 作乘法時(為x的n次多項式),優先考慮分部積分法。

例、計算：

解：令

，則 .

原式：

(分部積分法)

畫一個輔助三角形(

)

圖5 輔助三角形

由圖可知，

故原式=

⑤萬能代換——

是三角函數有理式不定積分，一般令可以將其化為有理函數的不定積分。

由

，根據萬能公式得

則

例、計算：

解：令

,

原式

⑥關于三角函數的幾種變換

遇到三角有理函數的不定積分，并不是所有的都要通過萬能代換去處理，這里總結了部分相關結論(實質上是某些湊微分的過程換了個說法而已)。

⑴、如果

是關于cosx的奇函數，即 ，則令 .

⑵、如果

是關于six的奇函數，即，則令.

⑶、如果

是既關于six的偶函數，又是關于cosx的偶函數，即，則令.

這里就⑶舉個例子。

例、計算

解：很明顯這是一個關于sinx、cosx的偶函數。令

原式

(這里的被積函數可以理解為是和t有關的函數，即可以等價變為t的函數從而繼續進行計算)

(同時除以) (轉化為t的被積函數)

(同時除以t2) (湊微分)

⑦歐拉(Euler)變換

歐拉變換的也可以將含有根式的不定積分化為有理函數的積分。

⑴、當

時，令；

⑵、當

時，令；

⑶、當

時，令 或

例、計算：

解：作歐拉變換，令

,解得

原式

⑧對于

， ，

(

)類型，可利用積化和差來計算。

⑨對于

類型，若當m、n中有一個奇數，可拆開利用湊微分法來計算；

若m、n都是偶數，可利用倍角公式逐步求出不定積分。

⑩對于

、 類型積分，可利用分部積分法導出遞推公式計算。

三、分部積分法

1.基本思想：

(更好積分)

2.口訣：反、對、冪、三、指(指、三)，誰在前，誰不動；誰在后，d進去(放在d后面)。

3.說明

①比如被積函數中出現了反函數和三角函數，根據口訣順序就把三角函數放在d后面，其它的情況類似(若函數中出現三角函數和指數函數的情形，把誰放在d后面都可以)。

②分部積分法習慣上去用下方表格去計算

表6 分部積分法表格

4.例題分析

⑴、常規型——計算：

(同濟教材習題4-3，NO.17)

解：觀察發現被積函數是由冪函數和三角函數組成，根據口訣把三角函數放在d后面(

)

表7 常規型計算

由表格可知

原式

⑵、循環型——計算：

(同濟教材習題4-3，NO.7)

解：觀察發現被積函數是由指數函數和三角函數組成，根據口訣可以把三角函數或指數函數放在d后面(在這里令

)

表8 循環型計算

由表格可知

由此可見，這種算法多見于指數函數和三角函數的情形

⑶、變通型——計算：

(同濟教材習題4-3，NO.9)

解：觀察發現被積函數是由反三角函數和冪函數組成，根據口訣把冪函數放在d后面(令

)

表9 常規型計算(行不通)

這種方法似乎行不通，原因是arctanx求導后一直不為0，這里要對表格求導后的那一列作一個調配(見表10)。

表10 變通型計算

由表可知

原式

PS:①該方法實質上是部分計算過程中換了種形式而已。

②重新調配的結果不影響符號變化：因為我們是將第二列作了調配，所以后面的符號按照第二列確定。

四、有理函數的積分

由于內容過多，決定單獨列成一章，見下所示。

TianX：有理函數不定積分計算法則——留數拆分法?zhuanlan.zhihu.com結束語

寫到最后。以上內容是本人在復習的時候對付不定積分常用的方法，僅供參考。

In The End.

Thanks for your reading!

總結

以上是生活随笔為你收集整理的含根式的定积分计算_不定积分计算法则总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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