深入學(xué)習(xí)二叉樹(四) 二叉排序樹

1 前言

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，線性表分為無序線性表和有序線性表。
無序線性表的數(shù)據(jù)是雜亂無序的，所以在插入和刪除時(shí)，沒有什么必須遵守的規(guī)則，可以插入在數(shù)據(jù)尾部或者刪除在數(shù)據(jù)尾部。但是在查找的時(shí)候，需要遍歷整個(gè)數(shù)據(jù)表，導(dǎo)致無序線性表的查找效率低。
有序線性表的數(shù)據(jù)則相反，查找數(shù)據(jù)時(shí)的時(shí)候因?yàn)閿?shù)據(jù)是有序的，可以用二分法、插值法、斐波那契查找法來實(shí)現(xiàn)。但是，當(dāng)進(jìn)行插入和刪除操作時(shí)，需要維護(hù)表中數(shù)據(jù)的有序性，會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間。
那么，我們希望找到一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，既可以有較高的插入和刪除效率，并且具備較高的查找效率，因此，二叉排序樹應(yīng)運(yùn)而生。

2 二叉排序樹

2.1 定義

二叉排序樹（Binary Sort Tree），又稱二叉查找樹（Binary Search Tree），也稱二叉搜索樹。二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹：

（1）若左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于或等于它的根結(jié)點(diǎn)的值；
（2）若右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于或等于它的根結(jié)點(diǎn)的值；
（3）左、右子樹也分別為二叉排序樹；

2.2 構(gòu)造一棵二叉排序樹

現(xiàn)有序列：61 87 59 47 35 73 51 98 37 93

構(gòu)造過程如下：
1）索引 i = 0，A[i] = 61，結(jié)點(diǎn)61作為根結(jié)點(diǎn)，如圖2.1：

2）索引 i = 1，A[1] = 87, 87 > 61，且結(jié)點(diǎn)61右孩子為空，故81為61結(jié)點(diǎn)的右孩子，如圖2.2：

3）索引 i = 2，A[i] = 59，59 <61，且結(jié)點(diǎn)61左孩子為空，故59為61結(jié)點(diǎn)的左孩子，如圖2.3：

4）索引 i = 3，A[3] = 47，47 < 59，且結(jié)點(diǎn)59左孩子為空，故47為59結(jié)點(diǎn)的左孩子，如圖2.4：

5）索引 i = 4，A[4] = 35，35 < 47，且結(jié)點(diǎn)47左孩子為空，故35為47結(jié)點(diǎn)的左孩子，如圖2.5：

采用同樣規(guī)則遍歷整個(gè)數(shù)組得到如圖2.6所示的一棵排序二叉樹。

2.3 二叉排序樹查找

由二叉樹的遞歸定義性質(zhì)，二叉排序樹的查找同樣可以使用如下遞歸算法查找。

如果樹是空的，則查找結(jié)束，無匹配。
如果被查找的值和根結(jié)點(diǎn)的值相等，查找成功。否則就在子樹中繼續(xù)查找。如果被查找的值小于根結(jié)點(diǎn)的值就選擇左子樹，大于根結(jié)點(diǎn)的值就選擇右子樹。

在理想情況下，每次比較過后，樹會(huì)被砍掉一半，近乎折半查找。
遍歷打印可以使用中序遍歷，打印出來的結(jié)果是從小到大的有序數(shù)組。
查找代碼：

typedef int Status; /* Status是函數(shù)的類型,其值是函數(shù)結(jié)果狀態(tài)代碼，如OK等 */ /* 二叉樹的二叉鏈表結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義 */ typedef struct BiTNode /* 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) */ {int data; /* 結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) */struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指針 */ } BiTNode, *BiTree;/* 遞歸查找二叉排序樹T中是否存在key, */ /* 指針f指向T的雙親，其初始調(diào)用值為NULL */ /* 若查找成功，則指針p指向該數(shù)據(jù)元素結(jié)點(diǎn)，并返回TRUE */ /* 否則指針p指向查找路徑上訪問的最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)并返回FALSE */ Status SearchBST(BiTree t, int key, BiTree f, BiTree *p) { if (!t) /* 查找不成功 */{ *p = f; return FALSE; }else if (key == t->data) /* 查找成功 */{ *p = t; return TRUE; } else if (key < t->data) return SearchBST(t->lchild, key, t, p); /* 在左子樹中繼續(xù)查找 */else return SearchBST(t->rchild, key, t, p); /* 在右子樹中繼續(xù)查找 */ }

對(duì)于圖2.6所示的二叉排序樹，若查找結(jié)點(diǎn)key為47則可以查找成功，若查找結(jié)點(diǎn)key為75，樹中不存在key為75的結(jié)點(diǎn)，故查找失敗，則查找指針p指向查找路徑的最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)，即結(jié)點(diǎn)73。

2.4 二叉排序樹插入

二叉排序的插入是建立在二叉排序的查找之上的，插入一個(gè)結(jié)點(diǎn)，就是通過查找發(fā)現(xiàn)該結(jié)點(diǎn)合適插入位置，把結(jié)點(diǎn)直接放進(jìn)去。 其實(shí)在2.2節(jié)中一步步構(gòu)造二叉排序樹的過程中就是結(jié)點(diǎn)插入過程。由此可以得出二叉排序樹插入規(guī)則如下：

若查找的key已經(jīng)有在樹中，則p指向該數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)。
若查找的key沒有在樹中，則p指向查找路徑上最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)。

例如：若在圖2.6展示的二叉排序樹中插入結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)為60的結(jié)點(diǎn)。
首先查找結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)為60的結(jié)點(diǎn)，二叉排序樹中不存在結(jié)點(diǎn)為60的結(jié)點(diǎn)，因此查找失敗。此時(shí)查找指針p指向查找路徑最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)即指向59結(jié)點(diǎn)。由于60>59且59結(jié)點(diǎn)右子樹為空，故將60結(jié)點(diǎn)作為59結(jié)點(diǎn)的右孩子，插入完成。插入后的二叉排序樹如圖2.8所示。

插入代碼：

struct BiTree {int data;BiTree *lchild;BiTree *rchild; };//在二叉排序樹中插入查找關(guān)鍵字key BiTree* InsertBST(BiTree *t,int key) {if (t == NULL){t = new BiTree();t->lchild = t->rchild = NULL;t->data = key;return t;}if (key < t->data) t->lchild = InsertBST(t->lchild, key);elset->rchild = InsertBST(t->rchild, key);return t; }//n個(gè)數(shù)據(jù)在數(shù)組d中，tree為二叉排序樹根 BiTree* CreateBiTree(BiTree *tree, int d[], int n) {for (int i = 0; i < n; i++)tree = InsertBST(tree, d[i]); }

2.5 二叉排序樹刪除

二叉樹的刪除可不再像二叉樹的插入那么容易了，以為刪除某個(gè)結(jié)點(diǎn)以后，會(huì)影響到樹的其它部分的結(jié)構(gòu)。
刪除的時(shí)候需要考慮以下幾種情況：

1）刪除結(jié)點(diǎn)為葉子結(jié)點(diǎn)；
2）刪除的結(jié)點(diǎn)只有左子樹；
3）刪除的結(jié)點(diǎn)只有右子樹
4）刪除的結(jié)點(diǎn)既有左子樹又有右子樹。

考慮前三種情況，處理方式比較簡(jiǎn)單。
例如：若要?jiǎng)h除圖2.8中的結(jié)點(diǎn)93，則直接刪除該結(jié)點(diǎn)即可。刪除后二叉排序樹如圖2.9所示：

若要?jiǎng)h除的結(jié)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)35，結(jié)點(diǎn)35只有右子樹，只需刪除結(jié)點(diǎn)35，將右子樹37結(jié)點(diǎn)替代結(jié)點(diǎn)35即可。刪除后的二叉排序樹如圖2.10所示：

刪除只有左子樹的結(jié)點(diǎn)與此情況類似。

情況4相對(duì)比較復(fù)雜，對(duì)于待刪除結(jié)點(diǎn)既有左子樹又有右子樹的情形，最佳辦法是在剩余的序列中找到最為接近的結(jié)點(diǎn)來代替刪除結(jié)點(diǎn)。這種代替并不會(huì)影響到樹的整體結(jié)構(gòu)。那么最為接近的結(jié)點(diǎn)如何獲取呢？
可以采用中序遍歷的方式來得到刪除結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)和后繼結(jié)點(diǎn)。選取前驅(qū)結(jié)點(diǎn)或者后繼結(jié)點(diǎn)代替刪除結(jié)點(diǎn)即可。
例如：待刪除的結(jié)點(diǎn)為47，圖2.8中二叉排序樹的中序遍歷序列為35 37 47 51 59 60 61 73 87 93 98。則結(jié)點(diǎn)47的前驅(qū)結(jié)點(diǎn)為37，則直接將37結(jié)點(diǎn)替代47結(jié)點(diǎn)即可。替換后的二叉排序樹如圖2.11所示：

刪除代碼：

/* 若二叉排序樹T中存在關(guān)鍵字等于key的數(shù)據(jù)元素時(shí)，則刪除該數(shù)據(jù)元素結(jié)點(diǎn), */ /* 并返回TRUE；否則返回FALSE。 */ Status DeleteBST(BiTree *T,int key) { if(!*T) /* 不存在關(guān)鍵字等于key的數(shù)據(jù)元素 */ return FALSE;else{if (key==(*T)->data) /* 找到關(guān)鍵字等于key的數(shù)據(jù)元素 */ return Delete(T);else if (key<(*T)->data)return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);elsereturn DeleteBST(&(*T)->rchild,key);} } /* 從二叉排序樹中刪除結(jié)點(diǎn)p，并重接它的左或右子樹。 */ Status Delete(BiTree *p) {BiTree q,s;if((*p)->rchild==NULL) /* 右子樹空則只需重接它的左子樹（待刪結(jié)點(diǎn)是葉子也走此分支) */{q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);}else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子樹 */{q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);}else /* 左右子樹均不空 */{q=*p; s=(*p)->lchild;while(s->rchild) /* 轉(zhuǎn)左，然后向右到盡頭（找待刪結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)） */{q=s;s=s->rchild;}(*p)->data=s->data; /* s指向被刪結(jié)點(diǎn)的直接前驅(qū)（將被刪結(jié)點(diǎn)前驅(qū)的值取代被刪結(jié)點(diǎn)的值） */if(q!=*p)q->rchild=s->lchild; /* 重接q的右子樹 */ elseq->lchild=s->lchild; /* 重接q的左子樹 */free(s);}return TRUE; }

3 結(jié)語

二叉排序樹是一種查找與插入效率均較為高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，同時(shí)，二叉排序樹也是二叉樹學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。希望通過本篇的學(xué)習(xí)能夠掌握二叉排序樹的查找、插入與刪除等基本操作，也希望讀者給出指導(dǎo)意見。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的深入学习二叉树(四) 二叉排序树的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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