所謂齊次坐標(biāo)就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。例如，二維點(diǎn)(x,y)的齊次坐標(biāo)表示為(hx,hy,h)。由此可以看出，一個向量的齊次表示是不唯一的，齊次坐標(biāo)的h取不同的值都表示的是同一個點(diǎn)，比如齊次坐標(biāo)(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二維點(diǎn)(4,2)。

(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點(diǎn)。下面是如何在普通坐標(biāo)(Ordinary Coordinate)和齊次坐標(biāo)(Homogeneous Coordinate)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

(1)從普通坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成齊次坐標(biāo)時

如果(x,y,z)是個點(diǎn)，則變?yōu)?x,y,z,1);

如果(x,y,z)是個向量，則變?yōu)?x,y,z,0)

(2)從齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成普通坐標(biāo)時

如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點(diǎn)，變成(x,y,z);

此外，對于一個普通坐標(biāo)的點(diǎn)P=(Px, Py, Pz)，有對應(yīng)的一族齊次坐標(biāo)(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齊次坐標(biāo)有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一個點(diǎn)從普通坐標(biāo)變成齊次坐標(biāo)，給x,y,z乘上同一個非零數(shù)w，然后增加第4個分量w；如果把一個齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成普通坐標(biāo)，把前三個坐標(biāo)同時除以第4個坐標(biāo)，然后去掉第4個分量。

由于齊次坐標(biāo)使用了4個分量來表達(dá)3D概念，使得平移變換可以使用矩陣進(jìn)行，從而如F.S. Hill, JR所說，仿射（線性）變換的進(jìn)行更加方便。由于圖形硬件已經(jīng)普遍地支持齊次坐標(biāo)與矩陣乘法，因此更加促進(jìn)了齊次坐標(biāo)使用，使得它似乎成為圖形學(xué)中的一個標(biāo)準(zhǔn)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的AI理论知识基础（23）-齐次坐标的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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