1、一個(gè)$n\times n$方陣為正交矩陣
如果$A{A}^T=I$（I為單位矩陣，$A^T$表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”）或$A^{T}A=I$，則n階實(shí)矩陣A稱(chēng)為正交矩陣
2、正交矩陣R在幾何上是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，保持夾角和距離不變，并保持某些方向，比如：
反射變換(refIection)又稱(chēng)為鏡像反射或鏡像變換，類(lèi)似于一個(gè)對(duì)象在
一面鏡子中的影子。二維平面上給定一條直線，我們可以作關(guān)于直線的鏡像反射；三維空間中，給定一個(gè)平面，我們可以做關(guān)于這個(gè)平面的鏡像反射。
3、對(duì)角矩陣除對(duì)角線外所有元素均為0。
4、$n\times n$方陣G為非負(fù)定，如果滿足：
（1）G為對(duì)稱(chēng)
（2）對(duì)任何n維向量$x$，有$x^{{}^{\prime }}Gx\ge 0$
如果G為正定的，則對(duì)任何n維向量$x$，除了$x=0_{n\times 1}$以外，有有$x^{{}^{\prime }}Gx\ge 0$

非負(fù)定矩陣也叫半正定矩陣。

5、G為非負(fù)定的，當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)對(duì)角線矩陣D，它的對(duì)角線元素非負(fù)，且有一個(gè)正交矩陣R，使得$G=RD{R}^{{}^{\prime }}$，G為正定的，當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)對(duì)角線矩陣D，它的對(duì)角線元素全為正數(shù)，且有一個(gè)正交矩陣R，使得$G=RD{R}^{{}^{\prime }}$。
其中，R的列為G的特征向量，D的對(duì)角線元素為特征值 。
6、根據(jù)正定矩陣的定義及性質(zhì)，判別對(duì)稱(chēng)矩陣A的正定性有兩種方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負(fù)數(shù)，則A為負(fù)定的。
（2）計(jì)算A的各階主子式。若A的各階主子式均大于零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負(fù)，偶數(shù)階為正，則A為負(fù)定的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的AI理论知识整理（3）-正定矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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