from IPython.display import display

from sympy import *

前置知識

理解這份筆記的內(nèi)容需，讀者需要具備基礎(chǔ)的python知識并且對函數(shù)，微積分和矩陣有一定的基礎(chǔ)。

輔助函數(shù)

由于后面的筆記中， 我們會(huì)大量將一個(gè)Sympy object和應(yīng)用某個(gè)函數(shù)之后，調(diào)用某個(gè)方法之后， 或是和執(zhí)行計(jì)算之后的結(jié)果比較。 為了減少代碼的重復(fù)，我編寫了helper.py幫忙做這事。

from helper import comparator_factory

func_comparator = comparator_factory('應(yīng)用函數(shù){}前：','使用后:')

comparator_factory返回的comparator是一個(gè)函數(shù), 他否則使用的語法是comparator(target, func, *args, *kwargs)。 target是待處理的Sympy對象, func是希望應(yīng)用的Sympy函數(shù),args,kwargs是傳給func的額外位置參數(shù)和關(guān)鍵字參數(shù)。

from helper import comparator_method_factory

method_comparator = comparator_method_factory('Before calling {}：','After:')

comparator_method_factory返回的使用的語法是comparator(target, method_name, *args, *kwargs)。 target是待處理的Sympy對象, method_name是希望調(diào)用的方法的名字,args,kwargs是傳給調(diào)用方法的額外位置參數(shù)和關(guān)鍵字參數(shù)。

from helper import comparator_eval_factory

eval_comparator = comparator_eval_factory('計(jì)算前：','計(jì)算后')

comparator_eval_factory返回的comparator使用的語法是comparator(uneval)。 uneval是未執(zhí)行計(jì)算的Sympy object。

符號計(jì)算是什么？

Sympy能以符號形式進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算。數(shù)學(xué)表達(dá)式中未經(jīng)計(jì)算的變量可以以符號的形式存在。我們看下面的例子。首先，我們用python的內(nèi)置函數(shù)計(jì)算開方，我們可能會(huì)這么做。

from math import sqrt

sqrt(8)

2.8284271247461903

這個(gè)結(jié)果并不能精確的表達(dá)$\sqrt{8}$而且我們也很難從這一大串float數(shù)值推出原來的表達(dá)式是什么。這就是為什么我們需要符號計(jì)算。在像Sympy這樣的符號計(jì)算系統(tǒng)中,不能準(zhǔn)確表達(dá)的開發(fā)運(yùn)算會(huì)保留未經(jīng)計(jì)算的符號形態(tài)。

from sympy import sqrt

sqrt(8)

2*sqrt(2)

更好的顯示效果

上面的例子中，結(jié)果很棒。但是在Jupyter中的顯示效果看起來并不怎么樣。如果我們要更好的顯示效果，可以調(diào)用sympy.init_printing()方法

from sympy import init_printing

init_printing()

sqrt(8)

$2 \sqrt{2}$

看上去棒極了!!

對變量進(jìn)行符號計(jì)算

Sympy能夠?qū)Π栕兞康谋磉_(dá)式進(jìn)行計(jì)算。下面是個(gè)例子。

from sympy import symbols

x, y = symbols('x y')

expr = x + 2*y

expr

$x + 2 y$

Sympy能自動(dòng)應(yīng)用一些明顯的化簡。 所以下面的例子里，我們得到的結(jié)果是$y$而不是$x+2y-x-y$

expr-x-y

$$y$$

如果沒有像Sympy這樣的符號計(jì)算系統(tǒng)的幫助，我們是實(shí)現(xiàn)不了這樣的效果的。因?yàn)榇蟛糠智闆r下，編程語言都沒法去處理一個(gè)沒有賦上具體值的變量。

Sympy的效果演示

為了滿足你的好奇心，下面挑了一小部分例子，演示Sympy在符號計(jì)算的威力。 先創(chuàng)建一寫符號變量。

x, t, z, nu = symbols('x t z nu')

求微分

計(jì)算$\sin{(x)}e^x$的微分

s = Derivative(sin(x)*exp(x),x)

eval_comparator(s)

計(jì)算前：

$$\fracozvdkddzhkzd{d x}\left(e^{x} \sin{\left (x \right )}\right)$$

計(jì)算后

$$e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

求積分

計(jì)算$\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\,dx$

s = Integral(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x))

eval_comparator(s)

計(jì)算前：

$$\int e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}\, dx$$

計(jì)算后

$$e^{x} \sin{\left (x \right )}$$

計(jì)算$\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx$

s = Integral(sin(x**2),(x,-oo,oo))

eval_comparator(s)

計(jì)算前：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \sin{\left (x^{2} \right )}\, dx$$

計(jì)算后

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$

計(jì)算$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{x}$

求極限

s = Limit(sin(x)/x, x, 0)

eval_comparator(s)

計(jì)算前：

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$$

計(jì)算后

$$1$$

求解 $x^2 - 2 = 0$

求解等式

s = Eq(x**2 - 2, 0)

func_comparator(s, solve, x)

應(yīng)用函數(shù)solve()前：

$$x^{2} - 2 = 0$$

使用后:

$$\left [ - \sqrt{2}, \quad \sqrt{2}\right ]$$

求微分方程

計(jì)算微分方程$y'' - y = e^t$

y = Function('y')

s = Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t))

func_comparator(s, dsolve, y(t))

應(yīng)用函數(shù)dsolve()前：

$$- y{\left (t \right )} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left (t \right )} = e^{t}$$

使用后:

$$y{\left (t \right )} = C_{2} e^{- t} + \left(C_{1} + \frac{t}{2}\right) e^{t}$$

矩陣計(jì)算

計(jì)算$\left[\begin{smallmatrix}1 & 2\2 & 2\end{smallmatrix}\right]$的engenvalue

Matrix([[1, 2], [2, 2]]).eigenvals()

$$\left { \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} : 1, \quad - \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{3}{2} : 1\right }$$

用spherical Bessel function jν(z)改寫B(tài)essel function Jν(z)

作圖

畫函數(shù)圖像

expr_1 = x**2

range_1 = (x,-2,2)

expr_2 = x

range_2 = (x,-1,1)

p = plot(

(expr_1,range_1),

(expr_2,range_2),

show = False,

legend = True

);

p[0].line_color = 'r'

p[1].line_color = 'b'

p[0].label = 'Line 1'

p[1].label = 'Line 2'

p.show()

畫3D平面

from sympy.plotting import plot3d

x,y = symbols('x y')

plot3d(

(x**2 + y**2, (x, -5, 5), (y, -5, 5)),

(x*y, (x, -3, 3), (y, -3, 3))

);

定義符號

定義變量符號

可以用symbols()去一次性定義多個(gè)符號變量。將想要的符號用空格隔開，以字符串的方式傳入函數(shù)。

from sympy import symbols

x,y,z = symbols('x y z')

expr = (x+y)**z/(x+1-y/5)

expr

$$\frac{\left(x + y\right)^{z}}{x - \frac{y}{5} + 1}$$

除了用字母，也可以用單詞作為符號名稱。

speed,time = symbols('speed time')

display(speed, time)

$$speed$$

$$time$$

有些字符串是保留字，用于定義諸如$\lambda, \nu$等特殊的符號。

lamda, n = symbols('lamda nu')

display(lamda, n)

$$\lambda$$

$$\nu$$

Python變量名不一定要和符號名保持一致。

y, x = symbols('x y')

display(x, y)

$$y$$

$$x$$

但是為了避免一些不必要的混亂，建議還是讓Python變量名和符號名保持一致比較好。

定義函數(shù)符號

傳入cls = Function定義函數(shù)符號。

f, g = symbols('f g', cls=Function)

display(f(x))

display(g(x,y))

$$f{\left (y \right )}$$

$$g{\left (y,x \right )}$$

定義數(shù)字

可以使用Integer, Float, Rational去定義Sympy中的整數(shù)，浮點(diǎn)數(shù)和有理數(shù)。

from sympy import Integer, Float, Rational

i = Integer(1)

i

$$1$$

f = Float(2.31)

f

$$2.31$$

r = Rational(2,7)

r

$$\frac{2}{7}$$

定義表達(dá)式

基本表達(dá)式

基本的數(shù)學(xué)表達(dá)式用符號變量和python的運(yùn)算符就夠構(gòu)造。

x,y,z = symbols('x y z')

expr = (x+y)**z/(x+1-y/5)

expr

$$\frac{\left(x + y\right)^{z}}{x - \frac{y}{5} + 1}$$

當(dāng)Python的objects和Sympy的objects相遇的時(shí)候，Python objects會(huì)被自動(dòng)轉(zhuǎn)化成Sympy objects.所以大部分使用我們直接使用python內(nèi)置的數(shù)。

但是,遇到兩個(gè)python數(shù)值相除的時(shí)候，Python會(huì)先完成除法運(yùn)算，將有理數(shù)轉(zhuǎn)變成浮點(diǎn)數(shù)。

expr = x+1/2

expr

$$x + 0.5$$

所以如果我們需要使用有理數(shù)，需要顯示的去進(jìn)行定義。

expr = x+Rational(1,2)

expr

$$x + \frac{1}{2}$$

更復(fù)雜的表達(dá)式例如微積分需要借助Sympy的函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。這部分內(nèi)容會(huì)在后面的教程中介紹。

定義等式

可以用Eq來定義等式。

x,y = symbols('x,y')

eq = Eq(x**2-x,0)

print('等式n:')

display(eq)

等式n:

$$x^{2} - x = 0$$

處理表達(dá)式

多項(xiàng)/有理函數(shù)

simplify()

Sympy提供了多種函數(shù)用于表達(dá)式的化簡。simplify()是一個(gè)通用的函數(shù)，它嘗試“智能”的應(yīng)用所有這些函數(shù)，讓表達(dá)式達(dá)到一個(gè)“最簡化”的狀態(tài)。

下面是一些例子。

expr = sin(x)**2 + cos(x)**2

func_comparator(expr, simplify)

應(yīng)用函數(shù)simplify()前：

$$\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$$

使用后:

$$1$$

expr = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)

func_comparator(expr, simplify)

應(yīng)用函數(shù)simplify()前：

$$\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$$

使用后:

$$x - 1$$

expr = gamma(x)/gamma(x - 2)

func_comparator(expr, simplify)

應(yīng)用函數(shù)simplify()前：

$$\frac{\Gamma{\left(x \right)}}{\Gamma{\left(x - 2 \right)}}$$

使用后:

$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$$

由于很難定義什么是"最簡化"，所以你可能得不到你想要的結(jié)果。

expr = x**2 + 2*x + 1

func_comparator(expr, simplify)

應(yīng)用函數(shù)simplify()前：

$$x^{2} + 2 x + 1$$

使用后:

$$x^{2} + 2 x + 1$$

在上面的例子里。你可能覺得$(x+1)^2$是最簡化的結(jié)果但是simplify并不同意。 這種時(shí)候，我們就要使用更加具體的化簡函數(shù)去更好的控制結(jié)果。這些函數(shù)后面會(huì)介紹。

除此之外，由于simplify()需要把各種各樣的化簡都嘗試一下才能決定哪種方案最好，處理速度會(huì)慢。所以如果你已經(jīng)知道自己想要哪種類型的化簡，直接使用特定的函數(shù)就好。

expand()

如果傳入一個(gè)多項(xiàng)式， expand()會(huì)把它處理成由單項(xiàng)式的和構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)型。

from sympy import expand

expr = (x + 1)**2

func_comparator(expr,expand)

應(yīng)用函數(shù)expand()前：

$$\left(x + 1\right)^{2}$$

使用后:

$$x^{2} + 2 x + 1$$

expr = (x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x

func_comparator(expr,expand)

應(yīng)用函數(shù)expand()前：

$$- x \left(x - 1\right) + \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$$

使用后:

$$-2$$

factor()

factor()將表達(dá)式在有理數(shù)范圍內(nèi)分解成不可約的因子項(xiàng)。

from sympy import factor

expr = (x**2)*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z

func_comparator(expr, factor)

應(yīng)用函數(shù)factor()前：

$$x^{2} z + 4 x y z + 4 y^{2} z$$

使用后:

$$z \left(x + 2 y\right)^{2}$$

factor_list()

factor_list()做和factor()一樣的工作,但是返回的結(jié)果不可約因子項(xiàng)組成的list。

from sympy import factor_list

expr = x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z

func_comparator(expr, factor_list)

應(yīng)用函數(shù)factor_list()前：

$$x^{2} z + 4 x y z + 4 y^{2} z$$

使用后:

$$\left ( 1, \quad \left [ \left ( z, \quad 1\right ), \quad \left ( x + 2 y, \quad 2\right )\right ]\right )$$

collect()

collect()對表達(dá)式進(jìn)行同類項(xiàng)合并。

from sympy import collect

expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3

func_comparator(expr, collect, x)

應(yīng)用函數(shù)collect()前：

$$x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x - 3$$

使用后:

$$x^{3} + x^{2} \left(- z + 2\right) + x \left(y + 1\right) - 3$$

cancel()

cancel()接受有理函數(shù)，然后處理成$p/q$的標(biāo)準(zhǔn)型。做到$p$和$q$是展開的多項(xiàng)式，沒有未合并的同類項(xiàng)。

$p$和$q$的第一個(gè)系數(shù)不包含分母。

from sympy import cancel

expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)

func_comparator(expr, cancel)

應(yīng)用函數(shù)cancel()前：

$$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(x y^{2} - 2 x y z + x z^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2}\right)$$

使用后:

$$\frac{1}{x - 1} \left(y^{2} - 2 y z + z^{2}\right)$$

apart

apart()對有理函數(shù)進(jìn)行部分分式分解。它將原表達(dá)式表示成若干多項(xiàng)式和若干分母較簡單的分式的和。

from sympy import apart

expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)

func_comparator(expr, apart)

應(yīng)用函數(shù)apart()前：

$$\frac{4 x^{3} + 21 x^{2} + 10 x + 12}{x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}$$

使用后:

$$\frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x}$$

三角函數(shù)

trigsimp

要根據(jù)三角恒等式對三角函數(shù)進(jìn)行化簡的話，可以用trigsimp()。和simplify()很像，trigsimp()嘗試使用各種三角恒等式去處理接受的表達(dá)式，然后根據(jù)“直覺”找到最好的選擇。

from sympy import trigsimp

expr = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4

func_comparator(expr, trigsimp)

應(yīng)用函數(shù)trigsimp()前：

$$\sin^{4}{\left (x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}$$

使用后:

$$\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}$$

trigsimp()也能用在雙曲函數(shù)上。

expr = cosh(x)**2 + sinh(x)**2

func_comparator(expr, trigsimp)

應(yīng)用函數(shù)trigsimp()前：

$$\sinh^{2}{\left (x \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )}$$

使用后:

$$\cosh{\left (2 x \right )}$$

expand_trig

如果想展開三角函數(shù)，例如，想利用和角公式和倍角公式的話，可以用expand_trig()。

from sympy import expand_trig

expr = sin(x + y)

func_comparator(expr,expand_trig)

應(yīng)用函數(shù)expand_trig()前：

$$\sin{\left (x + y \right )}$$

使用后:

$$\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} + \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}$$

冪函數(shù)

假設(shè)

介紹針對指數(shù)函數(shù)的化簡函數(shù)之前，得先討論一下和指數(shù)有關(guān)的幾個(gè)等式。

我們有三個(gè)等式。$x^ax^b = x^{a + b}$

$x^ay^a = (xy)^a$

$(x^a)^b = x^{ab}$

等式1總是成立。

等式2不總是成立。我們可以舉一個(gè)針對等式2的反例。

如果$x=y=?1$ and $a=1/2$, 那么$x^ay^a = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i\cdot i = -1$, 可是$x^ay^a = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i\cdot i = -1$.

等式3也不是一直成立。例如， 如果$x=?1$, $a=2$, and $b=1/2$, 那么$(x^a)^b = {\left ((-1)^2\right )}^{1/2} = \sqrt{1} = 1$且有$x^{ab} = (-1)^{2\cdot1/2} = (-1)^1 = -1$

記得這些很重要，因?yàn)槟J(rèn)情況下，Sympy并不會(huì)利用并不總是成立的等式用于化簡操作。

但是我們可以添加額外的假設(shè)條件，讓等式2和等式3在這些假設(shè)條件下做到衡成立。

一套讓等式2滿足的條件是，$x, y \geq 0$ and $a \in \mathbb{R};一套讓等式3滿足的條件是$b \in \mathbb{Z}$

為了讓Sympy利用這些只有在特定假設(shè)下才成立的等式進(jìn)行化簡，我們需要給符號添加假設(shè)(默認(rèn)假設(shè)是它們都是復(fù)數(shù))。

我們后面會(huì)對假設(shè)系統(tǒng)進(jìn)行更細(xì)致的探討。下面先舉一個(gè)簡單的用法的例子。這個(gè)例子里，我們假設(shè)$x,y$值為正且$a,b$是實(shí)數(shù)。

x, y = symbols('x y', positive=True)

a, b = symbols('a b', real=True)

另一個(gè)強(qiáng)制進(jìn)行化簡，無視假設(shè)的方法是傳入force = True。這個(gè)用法我們后面會(huì)遇到。

powsimp

powsimp()會(huì)從左到右應(yīng)用等式1和2.

from sympy import powsimp

expr = x**a*x**b

func_comparator(expr, powsimp)

應(yīng)用函數(shù)powsimp()前：

$$x^{a} x^{b}$$

使用后:

$$x^{a + b}$$

from sympy import powsimp

expr = x**a*y**a

func_comparator(expr, powsimp)

應(yīng)用函數(shù)powsimp()前：

$$x^{a} y^{a}$$

使用后:

$$\left(x y\right)^{a}$$

如果沒有相應(yīng)的假設(shè)讓等式2成立，化簡不會(huì)發(fā)生。

x, y = symbols('x y')

a, b = symbols('a b')

from sympy import powsimp

expr = x**a*y**a

func_comparator(expr, powsimp)

應(yīng)用函數(shù)powsimp()前：

$$x^{a} y^{a}$$

使用后:

$$x^{a} y^{a}$$

如果你確信希望應(yīng)用化簡，無論假設(shè)條件如何，可以傳入force=True

x, y = symbols('x y')

a, b = symbols('a b')

from sympy import powsimp

expr = x**a*y**a

func_comparator(expr, powsimp,force=True)

應(yīng)用函數(shù)powsimp()前：

$$x^{a} y^{a}$$

使用后:

$$\left(x y\right)^{a}$$

expand_power_exp

expand_power_exp()從右往左應(yīng)用等式1。

from sympy import expand_power_exp

expr = x**(a + b)

func_comparator(expr, expand_power_exp)

應(yīng)用函數(shù)expand_power_exp()前：

$$x^{a + b}$$

使用后:

$$x^{a} x^{b}$$

expand_power_base

expand_power_base()從左到右應(yīng)用等式2.

from sympy import expand_power_base

expr = (x*y)**a

func_comparator(expr, expand_power_base)

應(yīng)用函數(shù)expand_power_base()前：

$$\left(x y\right)^{a}$$

使用后:

$$\left(x y\right)^{a}$$

powdenest

powdenest()從左往右應(yīng)用等式3。

from sympy import powdenest

expr = (x**a)**b

func_comparator(expr, powdenest,force=True)

應(yīng)用函數(shù)powdenest()前：

$$\left(x^{a}\right)^{b}$$

使用后:

$$x^{a b}$$

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)有個(gè)主要的等式。$\log{(xy)} = \log{(x)} + \log{(y)}$

$\log{(x^n)} = n\log{(x)}$

它們有和冪函數(shù)一樣的問題。為了讓化簡時(shí)能利用上這些等式，我們需要傳入force = True或者添加額外的假設(shè)。

一套充分條件是

x, y = symbols('x y', positive=True)

n = symbols('n', real=True)

expand_log

expand_log()從左往右應(yīng)用等式1和2

from sympy import expand_log

expr = log(x*y)

func_comparator(expr,expand_log)

應(yīng)用函數(shù)expand_log()前：

$$\log{\left (x y \right )}$$

使用后:

$$\log{\left (x \right )} + \log{\left (y \right )}$$

from sympy import expand_log

expr = log(x**n)

func_comparator(expr,expand_log)

應(yīng)用函數(shù)expand_log()前：

$$\log{\left (x^{n} \right )}$$

使用后:

$$n \log{\left (x \right )}$$

from sympy import expand_log

expr = log(x/y)

func_comparator(expr,expand_log)

應(yīng)用函數(shù)expand_log()前：

$$\log{\left (\frac{x}{y} \right )}$$

使用后:

$$\log{\left (x \right )} - \log{\left (y \right )}$$

logcombine

expand_log()從右往左應(yīng)用等式1和2

from sympy import logcombine

expr = log(x) + log(y)

func_comparator(expr, logcombine)

應(yīng)用函數(shù)logcombine()前：

$$\log{\left (x \right )} + \log{\left (y \right )}$$

使用后:

$$\log{\left (x y \right )}$$

from sympy import logcombine

expr = n*log(x)

func_comparator(expr, logcombine)

應(yīng)用函數(shù)logcombine()前：

$$n \log{\left (x \right )}$$

使用后:

$$\log{\left (x^{n} \right )}$$

組合函數(shù)

combsimp

要化簡組合函數(shù)的話，可以用combsimp()

from sympy import combsimp

expr = factorial(n)/factorial(n - 3)

func_comparator(expr, combsimp)

應(yīng)用函數(shù)combsimp()前：

$$\frac{n!}{\left(n - 3\right)!}$$

使用后:

$$n \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)$$

from sympy import combsimp, binomial

n,k = symbols('n k')

expr = binomial(n+1, k+1)/binomial(n, k)

func_comparator(expr, combsimp)

應(yīng)用函數(shù)combsimp()前：

$$\frac{1}{{\binom{n}{k}}} {\binom{n + 1}{k + 1}}$$

使用后:

$$\frac{n + 1}{k + 1}$$

參考資料

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總結(jié)

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