矩陣連乘問(wèn)題----動(dòng)態(tài)規(guī)劃(轉(zhuǎn)載)：

給定n個(gè)矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何確定計(jì)算矩陣連乘積的計(jì)算次序，使得依此次序計(jì)算矩陣連乘積需要的數(shù)乘次數(shù)最少。

解答:我們按照動(dòng)態(tài)規(guī)劃的幾個(gè)步驟來(lái)分析：

（1）找出最優(yōu)解的性質(zhì)，刻畫其特征結(jié)構(gòu)

對(duì)于矩陣連乘問(wèn)題，最優(yōu)解就是找到一種計(jì)算順序，使得計(jì)算次數(shù)最少。

令m[i][j]表示第i個(gè)矩陣至第j個(gè)矩陣這段的最優(yōu)解。

將矩陣連乘積?簡(jiǎn)記為A[i:j]?，這里i<=j.假設(shè)這個(gè)最優(yōu)解在第k處斷開(kāi)，i<=k<j，則A[i:j]是最優(yōu)的，那么A[i,k]和A[k+1:j]也是相應(yīng)矩陣連乘的最優(yōu)解。可以用反證法證明之。?這就是最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，也是用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解題的重要特征之一。

（2）建立遞歸關(guān)系

設(shè)計(jì)算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數(shù)乘次數(shù)m[i,j]，則原問(wèn)題的最優(yōu)值為m[1,n]?。

當(dāng)i=j時(shí)，A[i,j]=Ai, m[i,j]=0;(表示只有一個(gè)矩陣,如A1,沒(méi)有和其他矩陣相乘,故乘的次數(shù)為0)

當(dāng)i<j時(shí)，m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j] +pi-1*pk*pj} ,其中 i<=k<j

(相當(dāng)于對(duì)i~j這段,把它分成2段,看哪種分法乘的次數(shù)最少,如A1,A2,A3,A4,則有3種分法:{A1}{A2A3A4 }、{A1A2}{A3A4 }、{A1A2A3}{A4 },其中{}表示其內(nèi)部是最優(yōu)解,如{A1A2A3}表示是A1A2A3的最優(yōu)解),

也即：

（3）計(jì)算最優(yōu)值

對(duì)于1≤i≤j≤n不同的有序?qū)?i,j) 對(duì)于不同的子問(wèn)題，因此不同子問(wèn)題的個(gè)數(shù)最多只有o(n*n).但是若采用遞歸求解的話，許多子問(wèn)題將被重復(fù)求解，所以子問(wèn)題被重復(fù)求解，這也是適合用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解題的主要特征之一。?

用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法解此問(wèn)題，可依據(jù)其遞歸式以自底向上的方式進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算過(guò)程中，保存已解決的子問(wèn)題答案。每個(gè)子問(wèn)題只計(jì)算一次，而在后面需要時(shí)只要簡(jiǎn)單查一下，從而避免大量的重復(fù)計(jì)算，最終得到多項(xiàng)式時(shí)間的算法。

下面給出動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)值的代碼：

//也是要枚舉求到的，但是如果我們之前先記錄下這些小規(guī)模的情況，當(dāng)求大規(guī)模的時(shí)候，直接提取就行了，因此體現(xiàn)了記憶搜索的說(shuō)法

void MatrixChain(int *p,int n,int **m,int **s)

{??? //m是最優(yōu)值,s是最優(yōu)值的斷開(kāi)點(diǎn)的索引,n為題目所給的矩陣的個(gè)數(shù)(下面例子中)

//矩陣段長(zhǎng)度為1,則m[][]中對(duì)角線的值為0,表示只有一個(gè)矩陣,沒(méi)有相乘的.

for(int i = 1;i<=n;i++) m[i][i] = 0;

for(int r = 2;r<=n;r++){//r表示矩陣的長(zhǎng)度(2,3…逐漸變長(zhǎng))

?? for(int i = 1;i<=n-r+1;i++){???

//從第i個(gè)矩陣Ai開(kāi)始,長(zhǎng)度為r,則矩陣段為(Ai~Aj)

int j = i+r-1;//當(dāng)前矩陣段(Ai~Aj)的起始為Ai,尾為Aj

//求(Ai~Aj)中最小的,其實(shí)k應(yīng)該從i開(kāi)始，但些處先記錄第一個(gè)值，k從i+1開(kāi)始，這樣也可以。

//例如對(duì)(A2~A4),則i=2,j=4,下面一行的m[2][4]=m[3][4]+p[1]*p[2]*p[4],即A2(A3A4)

??? ?m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];

??? ?s[i][j] = i;//記錄斷開(kāi)點(diǎn)的索引

//循環(huán)求出(Ai~Aj)中的最小數(shù)乘次數(shù)

??? ?for(int k = i+1 ; k<j;k++){

//將矩陣段(Ai~Aj)分成左右2部分(左m[i][k],右m[k+1][j]), //再加上左右2部分最后相乘的次數(shù)(p[i-1] *p[k]*p[j])

???? ??int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] *p[k]*p[j];??????????????????

???? ??if(t<m[i][j])

???? ??{? m[i][j] = t;? s[i][j] = k;? //保存最小的,即最優(yōu)的結(jié)果

}//if

??? ?}//k

?? ?}//i

}//r

}//MatrixChain

上面代碼中后面的k也相當(dāng)于是從i到j(luò)-1遞增的,只是單獨(dú)把第一個(gè)(k=i)提了出來(lái).

對(duì)于?p={30?35 ?15?5? 10? 20????? 25}:

?

計(jì)算順序?yàn)?#xff1a;

對(duì)上例,共6個(gè)矩陣(A1~A6),n=6,當(dāng)r=3時(shí),r循環(huán)里面的是3個(gè)矩陣的最優(yōu)解,i從1->4,即求的是

(A1A2A3),(A2A3A4),(A3A4A5),(A4A5A6)這4個(gè)矩陣段(長(zhǎng)度為3)的最優(yōu)解.當(dāng)i=2時(shí)(A2A3A4)的最優(yōu)解為{A2(A3A4) ,(A2A3)A4}的較小值。

?

?矩陣連乘計(jì)算次序問(wèn)題的最優(yōu)解包含著其子問(wèn)題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。?

?在分析問(wèn)題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)時(shí)，所用的方法具有普遍性：首先假設(shè)由問(wèn)題的最優(yōu)解導(dǎo)出的子問(wèn)題的解不是最優(yōu)的，然后再設(shè)法說(shuō)明在這個(gè)假設(shè)下可構(gòu)造出比原問(wèn)題最優(yōu)解更好的解，從而導(dǎo)致矛盾。?

?利用問(wèn)題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，以自底向上的方式遞歸地從子問(wèn)題的最優(yōu)解逐步構(gòu)造出整個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)是問(wèn)題能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解的前提。

?遞歸算法求解問(wèn)題時(shí)，每次產(chǎn)生的子問(wèn)題并不總是新問(wèn)題，有些子問(wèn)題被反復(fù)計(jì)算多次。這種性質(zhì)稱為子問(wèn)題的重疊性質(zhì)。?

?動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，對(duì)每一個(gè)子問(wèn)題只解一次，而后將其解保存在一個(gè)表格中，當(dāng)再次需要解此子問(wèn)題時(shí)，只是簡(jiǎn)單地用常數(shù)時(shí)間查看一下結(jié)果。?

?通常不同的子問(wèn)題個(gè)數(shù)隨問(wèn)題的大小呈多項(xiàng)式增長(zhǎng)。因此用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法只需要多項(xiàng)式時(shí)間，從而獲得較高的解題效率。

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵连乘 动态规划 详解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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