注：下列游戲都建立在雙方都有最優(yōu)策略的情況下，若未加以說明，則每人每次至少取一個石子。

例1：取石子游戲之一

有兩個游戲者：A和B。有n顆石子。
約定：兩人輪流取走石子，每次可取1、2或3顆。A先取，取走最后一顆石子的人獲勝。
問題：A有沒有必勝的策略？

分析：這是小學(xué)必備奧數(shù)題之一，我們可以很容易的知道，當(dāng)n為0,4,8,12……時，A必定會輸，因?yàn)椴徽揂取多少，B只要和A共同取走4即可；當(dāng)n不為0,4,8,12……時，A只需要將n取成4的倍數(shù)，這樣就變成了B先取，B一定會輸，所以A一定會贏。

經(jīng)過我們的分析發(fā)現(xiàn)，對這個游戲而言，0,4,8,12……這些狀態(tài)是對于先手的必敗狀態(tài)，而其他狀態(tài)是對于先手的必勝狀態(tài)，因此，我們現(xiàn)在介紹一下有關(guān)博弈的一些名詞和概念

1、平等組合游戲

• 兩人游戲。
• 兩人輪流走步。
• 有一個狀態(tài)集，而且通常是有限的。
• 有一個終止?fàn)顟B(tài)，到達(dá)終止?fàn)顟B(tài)后游戲結(jié)束。
• 游戲可以在有限的步數(shù)內(nèi)結(jié)束。
• 規(guī)定好了哪些狀態(tài)轉(zhuǎn)移是合法的。
• 所有規(guī)定對于兩人是一樣的。

因此我們的例1提到的游戲即為一個平等組合游戲，但是我們生活中常見的棋類游戲，如象棋、圍棋等，均不屬于平等組合游戲，因?yàn)殡p方可以移動的棋子不同，不滿足最后一個條件；而我們后續(xù)提到的游戲，以及博弈中的其他游戲，基本屬于平等組合游戲

2、N狀態(tài)（必勝狀態(tài)），P狀態(tài)（必敗狀態(tài)）

像例1的分析一樣，0,4,8,12……等狀態(tài)就是對于先手的P狀態(tài)（必敗狀態(tài)），其他的則是對于先手的N狀態(tài)（必勝狀態(tài)）。

那么我們定義兩個狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換：

• 所有的終止?fàn)顟B(tài)都為P狀態(tài)
• 對于任意的N狀態(tài)，存在至少一條路徑可以轉(zhuǎn)移到P狀態(tài)
• 對于任意的P狀態(tài)，只能轉(zhuǎn)移到N狀態(tài)

證明過于簡單，這里不再贅述，我們只需要明白一點(diǎn)，每個人都會選擇最策略即可。

當(dāng)然這里所說的都是最后走步的人獲勝的游戲，至于那些走到最后失敗的游戲，我們在最后做了一個簡單的講解（Anti Nim）。

例2：取石子游戲之二

將例1的游戲擴(kuò)展一下，我們定義一個集合$S=p1,p2,...,pk(k\in Z?)S=p1,p2,...,pk(k\in Z?)S=\{p_1,p_2,...,p_k\}(k\in Z^{?})$a=ak?,b>bk?，那么，取走

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈算法——博弈论的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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