? ? ? ?問題描述：給定n個(gè)矩陣：A1,A2,...,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。確定計(jì)算矩陣連乘積的計(jì)算次序，使得依此次序計(jì)算矩陣連乘積需要的數(shù)乘次數(shù)最少。輸入數(shù)據(jù)為矩陣個(gè)數(shù)和每個(gè)矩陣規(guī)模，輸出結(jié)果為計(jì)算矩陣連乘積的計(jì)算次序和最少數(shù)乘次數(shù)。

? ? ??問題解析：由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，故計(jì)算矩陣的連乘積可以有許多不同的計(jì)算次序。這種計(jì)算次序可以用加括號(hào)的方式來確定。若一個(gè)矩陣連乘積的計(jì)算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號(hào)，則可以依此次序反復(fù)調(diào)用2個(gè)矩陣相乘的標(biāo)準(zhǔn)算法計(jì)算出矩陣連乘積。

? ? ? ?完全加括號(hào)的矩陣連乘積可遞歸地定義為：

? ? ?（1）單個(gè)矩陣是完全加括號(hào)的；

? ? ?（2）矩陣連乘積A是完全加括號(hào)的，則A可表示為2個(gè)完全加括號(hào)的矩陣連乘積B和C的乘積并加括號(hào)，即A=(BC)

? ? ? ?例如，矩陣連乘積A1A2A3A4有5種不同的完全加括號(hào)的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一種完全加括號(hào)的方式對(duì)應(yīng)于一個(gè)矩陣連乘積的計(jì)算次序，這決定著作乘積所需要的計(jì)算量。

? ? ? 看下面一個(gè)例子，計(jì)算三個(gè)矩陣連乘{(lán)A1，A2，A3}；維數(shù)分別為10*100 , 100*5 , 5*50 按此順序計(jì)算需要的次數(shù)((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此順序計(jì)算需要的次數(shù)(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次

? ? ? 所以問題是：如何確定運(yùn)算順序，可以使計(jì)算量達(dá)到最小化。? ? ??

? ? ??算法思路：

? ? ? 例：設(shè)要計(jì)算矩陣連乘乘積A1A2A3A4A5A6，其中各矩陣的維數(shù)分別是：

? ? ? A1：30*35; ? ? A2：35*15; ? ? A3：15*5; ? ? A4：5*10; ? ? A5：10*20; ? ? A6：20*25?

? ? ??遞推關(guān)系：

? ? ??設(shè)計(jì)算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數(shù)乘次數(shù)m[i,j]，則原問題的最優(yōu)值為m[1,n]。

? ? ? 當(dāng)i=j時(shí)，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
? ? ? 當(dāng)i<j時(shí)，若A[i:j]的最優(yōu)次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在計(jì)算是并不知道斷開點(diǎn)k的位置，所以k還未定。不過k的位置只有j-i個(gè)可能。因此，k是這j-i個(gè)位置使計(jì)算量達(dá)到最小的那個(gè)位置。

? ? ? 綜上，有遞推關(guān)系如下：

? ? ??? ??

? ? ??構(gòu)造最優(yōu)解：

? ? ? 若將對(duì)應(yīng)m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計(jì)算出最優(yōu)值m[i][j]后，可遞歸地由s[i][j]構(gòu)造出相應(yīng)的最優(yōu)解。s[i][j]中的數(shù)表明，計(jì)算矩陣鏈A[i:j]的最佳方式應(yīng)在矩陣Ak和Ak+1之間斷開，即最優(yōu)的加括號(hào)方式應(yīng)為(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，從s[1][n]記錄的信息可知計(jì)算A[1:n]的最優(yōu)加括號(hào)方式為(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，進(jìn)一步遞推，A[1:s[1][n]]的最優(yōu)加括號(hào)方式為(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以確定A[s[1][n]+1:n]的最優(yōu)加括號(hào)方式在s[s[1][n]+1][n]處斷開...照此遞推下去，最終可以確定A[1:n]的最優(yōu)完全加括號(hào)方式，及構(gòu)造出問題的一個(gè)最優(yōu)解。

? ? ??1、窮舉法

? ? ??列舉出所有可能的計(jì)算次序，并計(jì)算出每一種計(jì)算次序相應(yīng)需要的數(shù)乘次數(shù)，從中找出一種數(shù)乘次數(shù)最少的計(jì)算次序。

? ? ??對(duì)于n個(gè)矩陣的連乘積，設(shè)其不同的計(jì)算次序?yàn)镻(n)。每種加括號(hào)方式都可以分解為兩個(gè)子矩陣的加括號(hào)問題：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到關(guān)于P(n)的遞推式如下：

? ? ??

? ? ? 以上遞推關(guān)系說明，P(n)是隨n的增長(zhǎng)呈指數(shù)增長(zhǎng)的。因此，窮舉法不是一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度算法。

? ? ??2、重疊遞歸

? ? ??從以上遞推關(guān)系和構(gòu)造最優(yōu)解思路出發(fā)，即可寫出有子問題重疊性的遞歸代碼實(shí)現(xiàn)：

//3d1-1 重疊子問題的遞歸最優(yōu)解

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25

//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

using namespace std;

const int L = 7;

int RecurMatrixChain(int i,int j,int **s,int *p);//遞歸求最優(yōu)解

void Traceback(int i,int j,int **s);//構(gòu)造最優(yōu)解

int main()

{

int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};

int **s = new int *[L];

for(int i=0;i<L;i++)

{

s[i] = new int[L];

}

cout<<"矩陣的最少計(jì)算次數(shù)為："<<RecurMatrixChain(1,6,s,p)<<endl;

cout<<"矩陣最優(yōu)計(jì)算次序?yàn)?#xff1a;"<<endl;

Traceback(1,6,s);

return 0;

}

int RecurMatrixChain(int i,int j,int **s,int *p)

{

if(i==j) return 0;

int u = RecurMatrixChain(i,i,s,p)+RecurMatrixChain(i+1,j,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];

s[i][j] = i;

for(int k=i+1; k<j; k++)

{

int t = RecurMatrixChain(i,k,s,p) + RecurMatrixChain(k+1,j,s,p) + p[i-1]*p[k]*p[j];

if(t<u)

{

u=t;

s[i][j]=k;

}

}

return u;

}

void Traceback(int i,int j,int **s)

{

if(i==j) return;

Traceback(i,s[i][j],s);

Traceback(s[i][j]+1,j,s);

cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];

cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;

}

用算法RecurMatrixChain(1,4,s,p)計(jì)算a[1:4]的計(jì)算遞歸樹如下圖所示：

? ? ? 從上圖可以看出很多子問題被重復(fù)運(yùn)算。可以證明，該算法的計(jì)算時(shí)間T(n)有指數(shù)下界。設(shè)算法中判斷語句和賦值語句為常數(shù)時(shí)間，則由算法的遞歸部分可得關(guān)于T(n)的遞歸不等式：

? ? ?用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，因此，算法RecurMatrixChain的計(jì)算時(shí)間也隨n指數(shù)增長(zhǎng)。

? ? ??3、備忘錄遞歸算法

? ? ?備忘錄方法用表格保存已解決的子問題答案，在下次需要解決此子問題時(shí)，只要簡(jiǎn)單查看該子問題的解答，而不必重新計(jì)算。備忘錄方法為每一個(gè)子問題建立一個(gè)記錄項(xiàng)，初始化時(shí)，該記錄項(xiàng)存入一個(gè)特殊的值，表示該子問題尚未求解。在求解的過程中，對(duì)每個(gè)帶求的子問題，首先查看其相應(yīng)的記錄項(xiàng)。若記錄項(xiàng)中存儲(chǔ)的是初始化時(shí)存入的特殊值，則表示該問題是第一次遇到，此時(shí)計(jì)算出該子問題的解，并將其保存在相應(yīng)的記錄項(xiàng)中，以備以后查看。若記錄項(xiàng)中存儲(chǔ)的已不是初始化時(shí)存入的特殊值，則表示該子問題已被計(jì)算過，相應(yīng)的記錄項(xiàng)中存儲(chǔ)的是該子問題的解答。此時(shí)從記錄項(xiàng)中取出該子問題的解答即可，而不必重新計(jì)算。

//3d1-2 矩陣連乘 備忘錄遞歸實(shí)現(xiàn)

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25

//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

using namespace std;

const int L = 7;

int LookupChain(int i,int j,int **m,int **s,int *p);

int MemoizedMatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);

void Traceback(int i,int j,int **s);//構(gòu)造最優(yōu)解

int main()

{

int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};

int **s = new int *[L];

int **m = new int *[L];

for(int i=0;i<L;i++)

{

s[i] = new int[L];

m[i] = new int[L];

}

cout<<"矩陣的最少計(jì)算次數(shù)為："<<MemoizedMatrixChain(6,m,s,p)<<endl;

cout<<"矩陣最優(yōu)計(jì)算次序?yàn)?#xff1a;"<<endl;

Traceback(1,6,s);

return 0;

}

int MemoizedMatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)

{

for(int i=1; i<=n; i++)

{

for(int j=1; j<=n; j++)

{

m[i][j]=0;

}

}

return LookupChain(1,n,m,s,p);

}

int LookupChain(int i,int j,int **m,int **s,int *p)

{

if(m[i][j]>0)

{

return m[i][j];

}

if(i==j)

{

return 0;

}

int u = LookupChain(i,i,m,s,p) + LookupChain(i+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];

s[i][j]=i;

for(int k=i+1; k<j; k++)

{

int t = LookupChain(i,k,m,s,p) + LookupChain(k+1,j,m,s,p) + p[i-1]*p[k]*p[j];

if(t<u)

{

u=t;

s[i][j] = k;

}

}

m[i][j] = u;

return u;

}

void Traceback(int i,int j,int **s)

{

if(i==j) return;

Traceback(i,s[i][j],s);

Traceback(s[i][j]+1,j,s);

cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];

cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;

}

? ? ?算法通過數(shù)組m記錄子問題的最優(yōu)值，m初始化為0，表明相應(yīng)的子問題還沒有被計(jì)算。在調(diào)用LookupChain時(shí)，若m[i][j]>0，則表示其中存儲(chǔ)的是所要求子問題的計(jì)算結(jié)果，直接返回即可。否則與直接遞歸算法一樣遞歸計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果存入m[i][j]中返回。備忘錄算法耗時(shí)O(n^3)，將直接遞歸算法的計(jì)算時(shí)間從2^n降至O(n^3)。

? ? ? 4、動(dòng)態(tài)規(guī)劃迭代實(shí)現(xiàn)

? ? ?用動(dòng)態(tài)規(guī)劃迭代方式解決此問題，可依據(jù)其遞歸式自底向上的方式進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算過程中，保存已解決的子問題的答案。每個(gè)子問題只計(jì)算一次，而在后面需要時(shí)只需簡(jiǎn)單檢查一下，從而避免了大量的重復(fù)計(jì)算，最終得到多項(xiàng)式時(shí)間的算法。

//3d1-3 矩陣連乘 動(dòng)態(tài)規(guī)劃迭代實(shí)現(xiàn)

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25

//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

using namespace std;

const int L = 7;

int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);

void Traceback(int i,int j,int **s);//構(gòu)造最優(yōu)解

int main()

{

int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};

int **s = new int *[L];

int **m = new int *[L];

for(int i=0;i<L;i++)

{

s[i] = new int[L];

m[i] = new int[L];

}

cout<<"矩陣的最少計(jì)算次數(shù)為："<<MatrixChain(6,m,s,p)<<endl;

cout<<"矩陣最優(yōu)計(jì)算次序?yàn)?#xff1a;"<<endl;

Traceback(1,6,s);

return 0;

}

int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)

{

for(int i=1; i<=n; i++)

{

m[i][i] = 0;

}

for(int r=2; r<=n; r++) //r為當(dāng)前計(jì)算的鏈長(zhǎng)（子問題規(guī)模）

{

for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1為最后一個(gè)r鏈的前邊界

{

int j = i+r-1;//計(jì)算前邊界為r，鏈長(zhǎng)為r的鏈的后邊界

m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//將鏈ij劃分為A(i) * ( A[i+1:j] )

s[i][j] = i;

for(int k=i+1; k<j; k++)

{

//將鏈ij劃分為( A[i:k] )* (A[k+1:j])

int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];

if(t<m[i][j])

{

m[i][j] = t;

s[i][j] = k;

}

}

}

}

return m[1][L-1];

}

void Traceback(int i,int j,int **s)

{

if(i==j) return;

Traceback(i,s[i][j],s);

Traceback(s[i][j]+1,j,s);

cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];

cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;

}

上述迭代算法的運(yùn)行過程如下圖所示：

? ? ?如圖所示：

? ? ?當(dāng)R=2時(shí)，先迭代計(jì)算出：

? ? ?m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；

? ? ?m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];

? ? ?m[3:4]=m[3:3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];

? ? ?m[4:5]=m[4:4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];

? ? ?m[5:6]=m[5][5]+m[6][6]+p[4]*p[5]*p[6]的值；

? ? ?當(dāng)R=3時(shí)，迭代計(jì)算出：

? ? ?m[1:3]=min(m[1:1]+m[2:3]+p[0]*p[1]*p[3],m[1:2]+m[3:3]+p[0]*p[2]*p[3]);

? ? ?m[2:4]=min(m[2:2]+m[3:4]+p[1]*p[2]*p[4],m[2:3]+m[4:4]+p[1]*p[3]*p[4]);

? ? ?......

? ? ?m[4:6]=min(m[4:4]+m[5:6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:5]+m[6:6]+p[3]*p[5]*p[6]);

? ? ?......

? ? ?依次類推，根據(jù)之前計(jì)算的m值，迭代計(jì)算最優(yōu)解。與備忘錄方法相比，此方法會(huì)將每個(gè)子問題計(jì)算一遍，而備忘錄方法則更靈活，當(dāng)子問題中的部分子問題不必求解釋，用備忘錄方法較有利，因?yàn)閺目刂平Y(jié)構(gòu)可以看出，該方法只解那些確實(shí)需要求解的子問題。

? ? ?程序運(yùn)行結(jié)果如下：

本文轉(zhuǎn)載自：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8497607#?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵连乘问题的算法分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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