5.4 復倒譜和倒譜 定義 設信號x(n)的z變換為X(z) = z[x(n)]，其對數為： (1) 那么 的逆z變換可寫成： (2) 取 (1)式則有 (3) 于是式子(2)則可以寫成 (4) 則式子(4)即為信號x(n)的復倒譜 的定義。因為 一般為復數，故稱 為復倒譜。如果對 的絕對取對數，得 (5)

5.4 復倒譜和倒譜

定義

設信號x(n)的z變換為X(z) = z[x(n)]，其對數為：

(1)

那么

的逆z變換可寫成：

(2)

取

(1)式則有

(3)

于是式子(2)則可以寫成

(4)

則式子(4)即為信號x(n)的復倒譜

的定義。因為

一般為復數，故稱

為復倒譜。如果對

的絕對值取對數，得

(5)

則

為實數，由此求出的倒頻譜c(n)為實倒譜，簡稱為倒譜，即

(6)

在(3)式中，實部是可以取唯一值的，但對于虛部，會引起唯一性問題，因此要求相角為w的連續奇函數。

性質：

為判斷復倒譜的性質，研究有理z變換的一般形式即可。z變換的一般形式為

其中，

的絕對值皆小于1，A是一個非負數系數。因此，

和

項對應于單位圓內的零點和極點，

和

項對應于單位圓外的零點和極點，Mi和M0分別表示單位圓內和外的零點數目，Ni和N0分別表示單位圓內和外的極點數目，因子

簡單地表示時間原點的移動。于是，X(z)的復對數為：

在討論復倒譜的性質時可以寫為以下形式：

性質1：即使x(n)可以滿足因果性、穩定性、甚至持續期有限的條件，一般而言復倒譜也是非零的，而且在正負n兩個方向上都是無限延展的。

性質2：復倒譜是一個有界衰減序列，其界限為：

其中，a是

的最大絕對值，而

是一個常數。

性質3：如果X(z)在單位圓外無極點和零點(即

)，則有

這種信號稱為“最小相位”信號。

性質4：對于X(z)在單位圓內沒有極點或零點的情形，可以得到“最大相位”信號，有

性質5：如果輸入信號為一串沖激信號，它具有如下形式：

這就意味著其也是一個間隔為Np的沖激串。

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總結

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