假如我們在ZF集合論里加入這么一條公理：

概括公理:設對于每一個對象$x$,我們都有一個依賴于$x$的性質$P(x)$,則存在一個集合$\{x|P(x)\mbox{成立}\}$.使得$$y\in\{x|P(x)\mbox{成立}\}\Leftrightarrow P(y)\mbox{成立}$$.

這看上去是一條很好的公理,在高中教科書中事實上也是這么表述一個集合的.如果這條公理加入不會導致矛盾,那么集合論的公理體系會大大簡化,具體會怎麼簡化見下面.

1.該公理等價于命題

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存在一個由一切對象組成的集合.

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證明：$\Rightarrow $根據概括公理,存在集合$\{x|x$是對象$\}$.

$\Leftarrow$已知$\{x|x$是對象$\}$存在，結合分離公理,可知集合$\{x|x$是對象且$x$滿足性質$P(x)\}$存在.

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2.利用概括公理可以證明ZF集合論裏的空集存在公理:我們讓$P(x)$是一個假命題,即可得到一個空集.

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而且,易得,利用概括公理能推出ZF公理裏的分離公理和代替公理(怎麼推?)可見，如果引入概括公理真的沒有矛盾的話，那簡直太好了.可惜天底下沒有這麼好的事情,概括公理能引出一個很大的矛盾,叫羅素悖論:

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羅素悖論說,根據概括公理，存在這麼這麼一個集合$A$，$A$以所有不屬於自己的集合爲元素.比如,$\{1,2,\{1,2\}\}$不屬於自己,因此$\{1,2,\{1,2\}\}$屬於集合$A$.然後,羅素問道:集合A屬於自己嗎?

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我們知道,根據ZF集合論裏的公理1 ,可知只有兩種情況,要麼A屬於自己,要麼A不屬於自己.易得兩種情形都導致矛盾(爲什麼?)可見,引入概括公理是不合適的.因此概括公理可以被廢除.

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然 而僅僅是廢除概括公理還是不夠的.因爲廢除了概括公理,羅素悖論依然可以存在,只是“存在的根據消失了”(之所以說「存在的根據消失了」是因爲一旦廢除概 括公理,所有不屬於自己的集合便不一定能形成一個集合).爲此,我們要用一個公理徹底否定羅素悖論.這個公理就是正則公理:

若A是非空集合，則A中必含有元素，該元素或者不是集合，若是集合，則與A不相交.

我們來看看,如果缺失了正則公理,會發生什麼情況:我們就能構造一個非空集合 $A$ ,$A$ 的所有元素都是集合,且屬於A的集合都與$A$相交.則必有

$$\cdots A_5\in A_4\in A_3\in A_2\in A_1\in A$$

其中$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,\cdots$都是$A$的元素,且它們都是集合.這樣,我們就發現集合$A$是一個“沒有底”的砂鍋,這簡直是怪物,而不是我們所喜歡的集合.由此可見正則公理的重要性.

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有了正則公理後,羅素悖論就徹底不合法了,因爲根據正則公理容易推出每個集合都不屬於自身(怎麼推?)，因此羅素悖論裏問$A$是不是屬於自身就沒什麼意思了.正則公理也能否定下面這樣的情況的合法性：

集合$A$,$B$,$A\in B$,$B\in A$.

這種情況,從直覺上看,也是一種“沒有底的砂鍋”，下面我們來看看正則公理是怎麼排除這種情況的.構造一個集合$\{A,B\}$(根據的是axiom of pair),我們知道,$A$和$\{A,B\}$相交,$B$和$\{A,B\}$也相交.這與正則公理矛盾.

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正則公理的一個應用(感謝哆嗒網網主雷霆):

所有單元素集(singleton set)形成的類不是一個集合.

這是因為，假如所有單元素集形成一個集合$A$.那么根據“集合能作為一個元素”這條公理，$\{A\}$也是一個單元素集.則$\{A\}\in A$.這與正則公理矛盾.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/18/3827673.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的羅素悖論和正則公理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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