題目來自lintcode, 鏈接：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/longest-palindromic-substring/

最長回文子串?

給出一個(gè)字符串（假設(shè)長度最長為1000），求出它的最長回文子串，你可以假定只有一個(gè)滿足條件的最長回文串。

樣例

給出字符串?"abcdzdcab"，它的最長回文子串為?"cdzdc"。

挑戰(zhàn)

O(n2) 時(shí)間復(fù)雜度的算法是可以接受的，如果你能用 O(n) 的算法那自然更好。

?

一. 首先給出O(n^2)的算法

思路：dp[i][k]表示第i個(gè)位置開始長度為k的串的最大回文串的長度, j=i+k-1

　　 ? 當(dāng)?s[i] == s[j] && dp[i+1][k-2] == k-2, ?dp[i][k] = dp[i+1][k-2] + 2;

　　 ? 否則 ?dp[i][k] = max(dp[i+1][k-1], dp[i][k-1]);

　　 ? 并記錄dp[i][k]的最大值，最后找到最長回文子串的區(qū)間。

int dp[1005][1005];string longestPalindrome(string& s) {// Write your code hereO(n^2)int len = s.size();memset(dp, 0, sizeof(dp));for(int i=0; i<len; ++i)dp[i][1] = 1;int ld=0, rd=0, maxL = 1;for(int k=2; k<=len; ++k){for(int i=0, j; i<len && (j=i+k-1)<len; ++i){if(s[i] == s[j] && dp[i+1][k-2] == k-2)dp[i][k] = dp[i+1][k-2] + 2;else dp[i][k] = max(dp[i+1][k-1], dp[i][k-1]);if(maxL<dp[i][k]){maxL = dp[i][k];ld = i;rd = j;}}}return s.substr(ld, rd-ld+1);
}

二.然后看一下復(fù)雜度為O(n)的Manacher算法

2.1 先說一下這個(gè)算法的思想：

　　用一個(gè)數(shù)組 P[i] 來記錄以字符S[i]為中心的最長回文子串向左/右擴(kuò)張的長度（包括S[i]）。

2.2 算法基本要點(diǎn)：

　　這個(gè)算法不能求出最長回文串長度為偶數(shù)回文串。用一個(gè)非常巧妙的方式，將所有可能的奇數(shù)/偶數(shù)長度的回文子串都轉(zhuǎn)換成了奇數(shù)長度：在相鄰兩個(gè)字符之間插入一個(gè)特殊的符號(hào)。比如 abba 變成 a#b#b#a。 為了進(jìn)一步減少編碼的復(fù)雜度，可以在字符串的開始加入另一個(gè)特殊字符，這樣就不用特殊處理越界問題，比如$a#b#b#a。

2.3 具體說一個(gè)例子：

　　S[] ? ? 1? #? 2? #? 2? #? 1? #? 2? #? 3? #? 2? #? 1
　　P[] ? ? 1 ?1 ? 2 ?1 ?2 ? 1 ?4 ?1 ?2 ?1 ?5 ?1 ? 2 ?1 ?1
　　(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的總長度）

2.4 為啥要對(duì)字符串進(jìn)行處理（插入'#'）

如果不對(duì)字符進(jìn)行處理, 對(duì)于最長回文串為偶數(shù)的情況下：

　　S[] ? ? 1 ?2 ?1 ?1 ?2 ?1
　　P[] ? ? 1 ?2 ?1 ?1 ?2 ?1

對(duì)字符進(jìn)行處理，對(duì)于最長回文串為偶數(shù)的情況下：

　　S[] ? ? 1 ?# ?2 ?# ?1 ?# ?1 ?# ?2 ?# ?1
　　P[] ? ? 1 ?1 ? 3 ?1 ?2 ?6 ? 2 ?1 ?3 ?1 ?1

可見不對(duì)字符進(jìn)行處理，對(duì)于最長回文串為偶數(shù)的情況是不能得到最大的回文串的長度。

2.5 如何計(jì)算P數(shù)組的值:

　　算法增加兩個(gè)輔助變量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx則為id+P[id]，也就是最大回文子串的邊界。

　　當(dāng) mx - i > P[j] 的時(shí)候，以S[j]為中心的回文子串包含在以S[id]為中心的回文子串中，由于 i 和 j 對(duì)稱，以S[i]為中心的回文子串必然包含在以S[id]為中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，見下圖。

　　　　　　　　　　　　　　

　　當(dāng) P[j] > mx - i 的時(shí)候，以S[j]為中心的回文子串不完全包含于以S[id]為中心的回文子串中，但是基于對(duì)稱性可知，下圖中兩個(gè)綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]為中心的回文子串，其向右至少會(huì)擴(kuò)張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否對(duì)稱，就只能一個(gè)一個(gè)匹配了。

　　　　　　　　　　　　　　

　　對(duì)于 mx <= i 的情況，無法對(duì) P[i]做更多的假設(shè)，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

2.6 尋找最大長度的回文子串：

　　看一種情況：

　　　　S[] ? ? 1 ?# ?2 ?# ?2 ?
　　　　P[] ? ? 1 ?1 ? 2 ?2 ?1?

　　首先， P中的最大值為2，但是最大值有兩個(gè)，我們應(yīng)該選擇哪一個(gè)？其實(shí)，如果P中的最大值對(duì)應(yīng)的字符不是'#'，顯然不能得到最大長度的回文串。所以當(dāng)我們遇到這種情況時(shí)(maxP == P[i] && S[i]=='#')要更新最大值所在位置。

2.7 最后代碼：

class Solution { public:/*** @param s input string* @return the longest palindromic substring*/string manacher(string& str){int *p = new int[str.size()]();memset(p, 0, sizeof(p));int mx = 0, id = 0;for(int i=1; i<str.size(); i++){if(mx > i)p[i] = min(p[2*id-i], mx-i);elsep[i] = 1;while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]])++p[i];if(i + p[i] > mx){mx = i + p[i];id = i;}}//尋找數(shù)組P中的最大值的位置int maxP = 0;for(int i=1; i<str.size(); ++i)if(maxP < p[i] || (maxP == p[i] && str[i]=='#')){maxP = p[i];id = i;} //根據(jù)id，確定最長回文串的區(qū)間int ld = id-p[id]+1, rd = id+p[id]-1;string ans = "";for(int i=ld; i<=rd; ++i)if(str[i]!='#')ans += str[i];return ans;}string longestPalindrome(string& s) {// Write your code here//采用manacher算法，O(n)的時(shí)間復(fù)雜度int len = s.size();
//首先預(yù)處理字符串，每?jī)蓚€(gè)字符之間插入'#'int k = -1;for(int i=1; i<len; ++i)s.insert(k+=2, 1, '#');s.insert(0, 1, '$');return manacher(s);} };

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/hujunzheng/p/5033891.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的lintcode最长回文子串(Manacher算法)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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