一、樹的概念

樹是一種分組的層次結(jié)構。

樹的定義：

樹是n(n>=0)個數(shù)據(jù)元素的集合,在任意一棵非空樹中，有如下特征

有且只有一個根結(jié)點（無前驅(qū)結(jié)點）

當n>1時，其他結(jié)點被分為若干個互不相交集合，并且每個集合又是一棵樹

我們可以看到樹的定義引用了集合的概念和迭代的概念。

二、樹的表示方法

文氏圖

圓括號

凹入法

樹形圖

三、基本術語

結(jié)點：樹的結(jié)點包含一個數(shù)據(jù)元素和若干指向其他子樹的分支

結(jié)點的度：結(jié)點的子節(jié)點的個數(shù)

樹的度：樹的所有結(jié)點的度的最大值

葉子結(jié)點：結(jié)點的度為0的結(jié)點

分支結(jié)點：結(jié)點的度不為0的結(jié)點

兄弟結(jié)點：同一個父結(jié)點下的子節(jié)點稱為兄弟結(jié)點

層數(shù)：根節(jié)點的層數(shù)為1，其他結(jié)點的層數(shù)為父節(jié)點的層數(shù)加1

樹的深度：所有結(jié)點層數(shù)的最大值

森林：零棵或者有限棵互不相交的樹稱為森林

有序樹和無序數(shù)：結(jié)點的各子節(jié)點從左到右無序（可以互換）的樹稱之為無序樹，否則稱為有序樹

四、二叉樹

1、二叉樹的定義

一種特殊的樹，除了有樹的特征外，還有如下特征：

當結(jié)點數(shù)大于0時，該樹由根節(jié)點和兩個子樹組成，分別稱之為左子樹和右子樹

左子樹和右子樹又是二叉樹

2、二叉樹的基本操作

CreateTree創(chuàng)建一棵二叉樹

ShowTree用凹入法或者圓括號法顯示一棵二叉樹

PreOrder按照先序（根，左，右）遍歷一棵二叉樹上的所有結(jié)點

InOrder按照中序（左，根，右）遍歷一棵二叉樹上的所有結(jié)點

PostOrder按照后序（左，右，根）遍歷一棵二叉樹上的所有結(jié)點

LevelOrder按層次遍歷一棵二叉樹上的所有結(jié)點

Leafnum求一棵二叉樹上的所有葉子結(jié)點

TreeDepth求一棵二叉樹的深度

3、二叉樹的性質(zhì)

• 一棵二叉樹的第i層至多有2分之i-1個結(jié)點
• 深度為h的一棵二叉樹至多有2分之h-1個結(jié)點
• 對于一棵有n個結(jié)點的完全二叉樹，若按照滿二叉樹的方式對結(jié)點進行編號，對于任意編號為i的結(jié)點，有如下性質(zhì)

i等于1的結(jié)點為根結(jié)點，當i>1時，該結(jié)點的父節(jié)點編號為i/2

當2i<=n時，該結(jié)點的左子結(jié)點編號為2i，當2i>n時,該結(jié)點沒有左子節(jié)點

當2i+1<=n時，該結(jié)點的右子節(jié)點編號為2i+1，當2i+1>n時，該結(jié)點沒有右子節(jié)點

• 具有n（n>0）個結(jié)點的完全二叉樹，其深度為floor（log2n）+1,floor表示向下取整
• 對于一棵非空的二叉樹，設結(jié)點的度為0,1,2的結(jié)點的個數(shù)分別為n0,n1,n2，那么有：n0=n2+1

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總結(jié)

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