Python機器學習算法實現(xiàn)

Author：louwill

Machine Learning Lab

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???? 時隔大半年，機器學習算法推導系列終于有時間繼續(xù)更新了。在之前的14講中，筆者將監(jiān)督模型中主要的單模型算法基本都過了一遍。預計在接下來的10講中，筆者將努力更新完以GBDT代表的集成學習模型，以EM算法、CRF和隱馬為代表的概率圖模型以及以聚類降維為代表的無監(jiān)督學習算法。

???? 在系列第4和第5講，筆者集中對ID3和CART決策樹算法進行了闡述，并給出二者算法的一些初步實現(xiàn)。本節(jié)我們來看集成學習的核心模型GBDT(Gradient Boosting Decision Tree)，即梯度提升決策樹，這也是一種決策樹模型算法。GBDT近年來在一些數(shù)據(jù)競賽上大殺四方，并不斷衍生出像XGBoost和LightGBM等更強大的版本。從名字上看，GBDT是由決策樹、提升模型和梯度下降一起構(gòu)成的。所以，要搞清楚GBDT的基本原理，就必須對這三者及其相互作用有一個深入的理解。

GBDT基本原理

???? 決策樹的基本原理我們已經(jīng)很清楚了，就是依據(jù)信息增益等原則不斷選擇特征構(gòu)建樹模型的過程，具體可參考數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法5：決策樹之CART算法。Boosting則是一種集成學習模式，通過將多個單個決策樹(弱學習器)進行線性組合構(gòu)成一個強學習器的過程，Boosting以一個單模型作為作為弱分類器，GBDT中使用CART作為這種弱學習器(基模型)。而融入了梯度下降對Boosting樹模型進行優(yōu)化之后就有了梯度提升樹模型。

???? 我們先來用一個通俗的說法來理解GBDT。假設(shè)某位同學月薪10k，筆者先用一個樹模型擬合了6k，發(fā)現(xiàn)有4k的損失，然后再用一棵樹模型擬合了2k，這樣持續(xù)擬合下去，擬合值和目標值之間的殘差會越來越小，而我們將每一輪迭代，也就是每一棵樹的預測值加起來就是模型最終的預測結(jié)果。不停的使用單棵決策樹組合就是Boosting的過程，使用梯度下降對Boosting樹模型進行優(yōu)化的過程就是Gradient Boosting。

???? 下面我們用數(shù)學語言來描述GBDT。

???? 一個提升樹模型可以描述為：

???? 在給定初始模型的情況下，第m步的模型可以表示為：

???? 然后我們通過如下目標函數(shù)來優(yōu)化下一棵樹的參數(shù)：

???? 以回歸問題的提升樹為例展開，一棵回歸樹可表示為：

???? 第0步、第m步和最終模型可表示為：

???? 給定第m-1步的模型下，求解：

???? 當損失函數(shù)為平方損失時：

???? 相應(yīng)的損失可推導為：

???? 則有：

???? 說明提升樹模型每一次迭代是在擬合一個殘差函數(shù)。

???? 但實際工作中并不是每一個損失函數(shù)都如平方損失那樣容易優(yōu)化，所以有學者就提出近似梯度下降的方法來使用損失函數(shù)的負梯度在當前模型的值作為回歸提升樹中殘差的近似值，即：

???? 所以，綜合提升樹和梯度提升，GBDT模型算法的一般流程可歸納為：

(1) 初始化弱學習器:

(2) 對有：

• 對每個樣本，計算負梯度，即殘差
  

• 將上步得到的殘差作為樣本新的真實值，并將數(shù)據(jù)作為下棵樹的訓練數(shù)據(jù)，得到一顆新的回歸樹其對應(yīng)的葉子節(jié)點區(qū)域為。其中為回歸樹t的葉子節(jié)點的個數(shù)。

• 對葉子區(qū)域計算最佳擬合值
  

• 更新強學習器

(3) 得到最終學習器

GBDT代碼框架

???? 手動從頭開始寫一個GBDT模型并非易事，需要我們對GBDT模型算法細節(jié)都有足夠深入的理解。在動手寫代碼之前，我們需要梳理清楚代碼框架，一個完整的GBDT系統(tǒng)應(yīng)包括如下幾個方面，如圖所示。

???? GBDT的基模型為CART，所以定義決策樹結(jié)點和構(gòu)建CART樹至關(guān)重要，CART算法筆者系列第5講已經(jīng)進行了初步實現(xiàn)。當基模型構(gòu)建好后，即可根據(jù)GBDT算法流程搭建GBDT和GBRT。除此之外，一些輔助函數(shù)的定義(最大熵/Gini指數(shù)計算)，損失函數(shù)定義和模型可視化方法等輔助功能也應(yīng)該一應(yīng)俱全。

???? 因樹結(jié)點和CART樹模型第5講已講過，具體實現(xiàn)方法這里不再重寫。

???? 結(jié)點定義代碼框架：

class?TreeNode():def __init__(self, feature_i=None, threshold=None,value=None, true_branch=None, false_branch=None):pass

???? 樹定義代碼框架，主要包括樹的基本屬性和方法。基本屬性包括根結(jié)點、最小劃分樣本數(shù)、最大深度和是否為葉子結(jié)點等等。基本方法包括決策樹構(gòu)建、決策樹擬合、決策樹預測和打印等方法。

class?Tree(object):def __init__(self, min_samples_split=2, min_impurity=1e-7,max_depth=float("inf"), loss=None):self.root = None # Root node in dec. tree# Minimum n of samples to justify splitself.min_samples_split = min_samples_split# The minimum impurity to justify splitself.min_impurity = min_impurity# The maximum depth to grow the tree toself.max_depth = max_depth# Function to calculate impurity (classif.=>info gain, regr=>variance reduct.)# 切割樹的方法，gini，方差等self._impurity_calculation = None# Function to determine prediction of y at leaf# 樹節(jié)點取值的方法，分類樹：選取出現(xiàn)最多次數(shù)的值，回歸樹：取所有值的平均值self._leaf_value_calculation = None# If y is one-hot encoded (multi-dim) or not (one-dim)self.one_dim = None# If Gradient Boostself.loss = lossdef fit(self, X, y, loss=None):"""?Build?decision?tree?"""passdef _build_tree(self, X, y, current_depth=0):""" Recursive method which builds out the decision tree and splits X and respective ypassdef predict_value(self, x, tree=None):""" Do a recursive search down the tree and make a prediction of the data sample by thevalue of the leaf that we end up at """passdef predict(self, X):""" Classify samples one by one and return the set of labels """passdef?print_tree(self,?tree=None,?indent="?"):pass

???? 以回歸樹為例，基于以上樹模型，可定義回歸樹模型如下：

class RegressionTree(Tree):# 使用方差法進行樹分割def _calculate_variance_reduction(self, y, y1, y2):var_tot = calculate_variance(y)var_1 = calculate_variance(y1)var_2 = calculate_variance(y2)frac_1 = len(y1) / len(y)frac_2 = len(y2) / len(y)# Calculate the variance reductionvariance_reduction = var_tot - (frac_1 * var_1 + frac_2 * var_2)return sum(variance_reduction)# 使用均值法取葉子結(jié)點值def _mean_of_y(self, y):value = np.mean(y, axis=0)return value if len(value) > 1 else value[0]# 回歸樹擬合def fit(self, X, y):self._impurity_calculation = self._calculate_variance_reductionself._leaf_value_calculation = self._mean_of_ysuper(RegressionTree, self).fit(X, y)

???? 在定義GBRT之前，先定義損失均方誤差損失函數(shù)：

class Loss(object):def loss(self, y_true, y_pred):return NotImplementedError()def gradient(self, y, y_pred):raise NotImplementedError()def acc(self, y, y_pred):return 0class SquareLoss(Loss):def __init__(self): passdef loss(self, y, y_pred):return 0.5 * np.power((y - y_pred), 2)def gradient(self, y, y_pred):return -(y - y_pred)

???? 然后定義初始版本的GBDT模型：

class GBDT(object):def __init__(self, n_estimators, learning_rate, min_samples_split,min_impurity, max_depth, regression):# 基本參數(shù)self.n_estimators = n_estimatorsself.learning_rate = learning_rateself.min_samples_split = min_samples_splitself.min_impurity = min_impurityself.max_depth = max_depthself.regression = regressionself.loss = SquareLoss()if not self.regression:self.loss = SotfMaxLoss()# 分類問題也可以使用回歸樹，利用殘差去學習概率self.estimators = []for i in range(self.n_estimators):self.estimators.append(RegressionTree(min_samples_split=self.min_samples_split,min_impurity=self.min_impurity,max_depth=self.max_depth))# 擬合方法def fit(self, X, y):# 讓第一棵樹去擬合模型self.estimators[0].fit(X, y)y_pred = self.estimators[0].predict(X)for i in range(1, self.n_estimators):gradient = self.loss.gradient(y, y_pred)self.estimators[i].fit(X, gradient)y_pred -= np.multiply(self.learning_rate, self.estimators[i].predict(X))# 預測方法def predict(self, X):y_pred = self.estimators[0].predict(X)for i in range(1, self.n_estimators):y_pred -= np.multiply(self.learning_rate, self.estimators[i].predict(X))if not self.regression:# Turn into probability distributiony_pred = np.exp(y_pred) / np.expand_dims(np.sum(np.exp(y_pred), axis=1), axis=1)# Set label to the value that maximizes probabilityy_pred = np.argmax(y_pred, axis=1)return y_pred

?????

???? 然后可分別定義GBDT和GBRT：

# regression tree class GBDTRegressor(GBDT):def __init__(self, n_estimators=200, learning_rate=0.5, min_samples_split=2,min_var_red=1e-7, max_depth=4, debug=False):super(GBDTRegressor, self).__init__(n_estimators=n_estimators,learning_rate=learning_rate,min_samples_split=min_samples_split,min_impurity=min_var_red,max_depth=max_depth,regression=True) #?classification?tree class GBDTClassifier(GBDT):def?__init__(self,?n_estimators=200,?learning_rate=.5,?min_samples_split=2,min_info_gain=1e-7, max_depth=2, debug=False):super(GBDTClassifier,?self).__init__(n_estimators=n_estimators,learning_rate=learning_rate,min_samples_split=min_samples_split,min_impurity=min_info_gain,max_depth=max_depth,regression=False)def fit(self, X, y):y = to_categorical(y)super(GBDTClassifier, self).fit(X, y)

?????

???? 最后基于boston房價數(shù)據(jù)集給出一個計算例子：

from?sklearn?import?datasets boston = datasets.load_boston() X, y = shuffle_data(boston.data, boston.target, seed=13) X = X.astype(np.float32) offset = int(X.shape[0] * 0.9)X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3) print(X_train.shape, y_train.shape, X_test.shape, y_test.shape)model = GBDTRegressor() model.fit(X_train, y_train) y_pred = model.predict(X_test) # Color map cmap?=?plt.get_cmap('viridis') mse?=?mean_squared_error(y_test,?y_pred) print ("Mean Squared Error:", mse)# Plot the results m1 = plt.scatter(range(X_test.shape[0]), y_test, color=cmap(0.5), s=10) m2 = plt.scatter(range(X_test.shape[0]), y_pred, color='black', s=10) plt.suptitle("Regression?Tree") plt.title("MSE:?%.2f"?%?mse,?fontsize=10) plt.xlabel('sample') plt.ylabel('house price') plt.legend((m1, m2), ("Test data", "Prediction"), loc='lower right') plt.show();

???? slearn中為我們提供了GBDT算法完整的API可供調(diào)用，實際工程中更不可能自己手寫這么復雜的算法系統(tǒng)。但作為學習，手寫算法不失為一種深入理解算法細節(jié)和鍛煉代碼能力的好方法。

完整代碼可參考：

https://github.com/RRdmlearning/Machine-Learning-From-Scratch/blob/master/gradient_boosting_decision_tree

參考資料：

https://github.com/RRdmlearning/Machine-Learning-From-Scratch/blob/master/gradient_boosting_decision_tree

李航 統(tǒng)計學習方法

往期精彩：

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法14：Ridge嶺回歸

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法13：Lasso回歸

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法12：貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

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數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法6：感知機

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法5：決策樹之CART算法

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法4：決策樹之ID3算法

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法3：k近鄰

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法2：邏輯回歸

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法1：線性回歸

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總結(jié)

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