??本文將會介紹三個用動態規劃法解決的例子，分別是：

• 樓梯臺階問題
• 二項式系數求解
• 最大乘積子數組問題

樓梯臺階問題

一個n階的樓梯，一個嬰兒每次爬一階或兩階，試問一共有多少種辦法爬完樓梯。

設f(n)為該問題的解，考慮最后一次的爬法，若最后一次爬一階，則前面n-1階樓梯有f(n-1)種辦法，若最后一次爬兩階，則前面n-2階樓梯有f(n-2)種辦法，因此：
$$f(n)=f(n-1)+f(n-2).$$
f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3，....該數列為斐波那契數列，可以參考博客動態規劃法（一）從斐波那契數列談起用動態規劃法進行求解。

一個n階的樓梯，一個嬰兒每次爬一階或兩階或三階臺階，試問一共有多少種辦法爬完樓梯。

同上面的解法一樣，有：
$$f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3).$$
其中，f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4. 可以參考博客動態規劃法（二）找零錢問題用動態規劃法進行求解。

二項式系數求解

??對于二項式系數，有如下等式：
$$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}.$$
再結合$C_{n}^{0}=1,C_{n}^{1}=n$對該問題用動態規劃法進行求解，本質上這也是一個遞歸關系式。Python代碼如下：

import numpy as npdef binomial(n, k):if k == 0:return 1elif k == 1:return nelse:table = np.array([[0] * (k + 1)] * n, dtype='int64')for i in range(n):table[i, 0] = 1table[i, 1] = i + 1for i in range(n):for j in range(2, k+1):if i+1 < j:table[i, j] = 0else:table[i, j] = table[i-1, j] + table[i-1, j-1]return table[n-1, k]t = binomial(50, 10) print(t)

最大乘積子數組問題

??所謂的最大乘積子數組問題，指的是：給定一個數組A，尋找A的乘積最大的非空連續子數組。比如，數組 A = [-2, -3, 4]， 最大乘積子數組應為A,其和為24。
??在博客動態規劃法（八）最大子數組問題（maximum subarray problem）中，我們已經用動態規劃法解決了最大子數組問題。對于最大乘積子數組問題，我們也可以類似地用動態規劃法解決。但是，對于A中元素均為正數的情形，可以有更簡單的方法。
??首先對A中元素去對數，則原問題等價于最大子數組問題，找出最大和后，再用指數作用，就能得到A中元素均為正數的最大乘積子數組問題的解。其Python代碼如下：

from math import log2, pow# using dynamic programming to slove maximum subarray problem def DP_maximum_subarray(old_arr):# 對原數組取底為2的對數arr = [log2(x) for x in old_arr]# 對新數組求解最大子數組問題# 并求出該子數組的開始坐標(begin_index)和結束坐標(end_index)t = len(arr)MS = [0]*t # 初始化MS數組MS[0] = arr[0] # 動態規劃法的初始值# 動態規劃法的子結構for i in range(1, t):MS[i] = max(MS[i-1]+arr[i], arr[i])# 求解該子數組的開始坐標(begin_index)和結束坐標(end_index)end_index = MS.index(max(MS))begin_index = end_indexsum = arr[end_index]while abs(sum- max(MS)) > pow(10, -5):begin_index -= 1sum += arr[begin_index]return begin_index, end_index, pow(2, max(MS))a = [1/2, 4, 1/2, 16, 1/8, 32, 2, 1/16] begin_index, end_index, max_product = DP_maximum_subarray(a) print([begin_index, end_index, max_product])

輸出結果為：

[1, 6, 256.0]

最大乘積子數組問題的最大乘積為256，子數組開始坐標為1，結束坐標為6，因此子數組為[4, 1/2, 16, 1/8, 32, 2]。

注意：本人現已開通兩個微信公眾號： 用Python做數學（微信號為：python_math）以及輕松學會Python爬蟲（微信號為：easy_web_scrape）， 歡迎大家關注哦~~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划法（九）想要更多例子？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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