線性代數(shù)中特征向量的幾何意義?

概念：

特征向量確實(shí)有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特征向量的問題，當(dāng)然是方陣，這里不討論廣義特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一個向量的結(jié)果仍是同維數(shù)的一個向量，因此，矩陣乘法對應(yīng)了一個變換，把一個向量變成同維數(shù)的另一個向量，那么變換的效果是什么呢？這當(dāng)然與方陣的構(gòu)造有密切關(guān)系，比如可以取適當(dāng)?shù)亩S方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉(zhuǎn)30度，這時我們可以問一個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉(zhuǎn)30度而不改變方向的，所以這個變換對應(yīng)的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一個變換的特征向量是這樣一種向量，它經(jīng)過這種特定的變換后保持方向不變，只是進(jìn)行長度上的伸縮而已(再想想特征向量的原始定義Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了嗎？cx是方陣A對向量x進(jìn)行變換后的結(jié)果，但顯然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的話，ax也是特征向量(a是標(biāo)量且不為零)，所以所謂的特征向量不是一個向量而是一個向量族，另外，特征值只不過反映了特征向量在變換時的伸縮倍數(shù)而已，對一個變換而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，雖然我們求這兩個量時先求出特征值，但特征向量才是更本質(zhì)的東西！

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舉例：

比如平面上的一個變換，把一個向量關(guān)于橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個向量的橫坐標(biāo)不變，但縱坐標(biāo)取相反數(shù)，把這個變換表示為矩陣就是[1 0;0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上標(biāo)'表示取轉(zhuǎn)置，這正是我們想要的效果，那么現(xiàn)在可以猜一下了，這個矩陣的特征向量是什么?想想什么向量在這個變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是鏡像對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當(dāng)然不會變化)，所以可以直接猜測其特征向量是 [a 0]'(a不為0)，還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經(jīng)過變換后，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認(rèn)為是方向沒有變化，所以[0 b]'(b不為0)也是其特征向量，去求求矩陣[1 0;0 -1]的特征向量就知道對不對了!

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的帮你理解特征向量的几何意义?的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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